Bir için Iff koşulları $C^1$-diffeomorfizme sahip olmak $L^1$ veya $L^\infty$ Jacobian
İzin Vermek $\Delta,D$ iki açık alt kümesi olmak $\mathbb{R}^d$ve izin ver $\varphi:\Delta \rightarrow D$ olmak $C^1$Jacobian belirleyicili diffeomorfizm $J_{\varphi}.$
Kanıtla $\lambda_d(D)<+\infty$ ancak ve ancak $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$
Kanıtla $J_\varphi$ sınırlıdır $\Delta$ ancak ve ancak $\exists c>0$ öyle ki herkes için açık $\Omega \subset\Delta$, $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$
1. bölüm için sonuç aşağıdakilerden gelir $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$
Bölüm 2 için, eğer $J_\varphi$ Sınırlı, $\exists c>0$ öyle ki herkes için açık $\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$
Sohbeti nasıl kanıtlayabiliriz?
Yanıtlar
Herhangi bir sürekli işlev için bunu hatırlayın $f$ bir noktanın mahallesinde tanımlanmış $x\in\mathbb R^d$, $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$
Sürekli işlevi varsayalım $|J_\varphi|$sınırsızdı. Sonra her biri için$n\in\mathbb Z_{>0}$var $x_n\in \Delta$ öyle ki $|J_\varphi(x_n)|>2n$. Bu nedenle, yeterince küçük$r_n>0$, $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ söylenmek istenen $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ yani öyle değil $c>0$ var olabilir.