Bir kara deliğin yakınındaki uzayın eğriliği
(Titiz teorisyenlerin bu sorudaki ifademi affetmeleri gerekecek, GR'de yeniyim ve fizik eğitimimin çoğu kuantum mekaniği üzerinedir)
Öklid dışı geometride, özünde eğimli bir uzayda olduğu gibi küresel bir uzaydan söz edebiliriz. Küresel bir uzayda, "paralel" çizgiler bir noktaya birleşir. Wikipedia'da "Dengedeki bir kara deliğin olay ufkunun topolojisi her zaman küreseldir" diye okudum.
Bir kara deliğin etrafındaki boşluğun küresel olduğunu ve bu nedenle "paralel çizgilerin" yakınsamasının olay ufkunun içinde bir noktada buluştuğunu iddia etmek doğru bir ifade midir? Durum bu değilse, tekilliğin etrafındaki boşluğu hiperbolik, küresel veya başka bir şey olarak sınıflandırabilir miyiz?
Aşağıdaki bağlantı:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
Yanıtlar
Bir kara deliğin yakınındaki uzay-zamanı "küresel" olarak tanımlamanın doğru olacağını sanmıyorum. Birincisi, uzayın eğriliği, kara deliğe ne kadar yakın olduğunuza bağlı olarak değişir. Bir küre için eğrilik sabittir ve konuma göre değişmez. Ayrıca, boyutların 2'den büyük olduğu uzay-zamanların eğriliğini belirtmek için tek bir gerçek sayıdan fazlasına ihtiyacınız vardır. , ancak farklı bir yöne yönlendirilmiş bir üçgenin açılarının toplamı 180 dereceden fazladır.) Ayrıca, kara deliğin yerçekimi alanı büyük ölçüde uzay zamanın sadece uzaysal eğriliğe değil, eğimli olmasına bağlıdır.
Muhtemelen hala uzay-zaman eğriliğini, eğrilik tensörünün çeşitli bileşenlerinin işaretlerine göre sınıflandırabilirsiniz, ancak sınıflandırma, küresel, düz ve hiperbolik olmaktan daha karmaşık olacaktır.
Wikipedia'da "Dengedeki bir kara deliğin olay ufkunun topolojisi her zaman küreseldir" diye okudum.
Bu cevap, bu ifadenin ne anlama geldiğini açıklığa kavuşturuyor. Bu, 4d uzayzamanda herhangi bir kara delikle başlarsak, ufku kendi başına bir 3B manifold olarak düşünürsek, bu manifoldun topolojisi olduğu anlamına gelir.$S^2\times \mathbb{R}$, nerede $S^2$ iki kürelidir (bir topun yüzeyi) ve $\mathbb{R}$bir çizgidir. Bu, geometri hakkında değil, topoloji hakkında bir ifadedir. Özellikle, ifade jeodezikler (veya paralel çizgiler) hakkında (neredeyse) hiçbir şey söylemiyor.
Bu arada, ifade 4d uzay-zamandaki kara deliklere özgü. 5d uzay zamanında, bir kara delik küresel olmayan topolojiye sahip bir olay ufkuna sahip olabilir.
Misal
4d uzay zamanındaki Schwarzschild metriğini düşünün. Uzay benzeri dünya çizgileri için çizgi öğesi$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ nerede $A(r)$ufukta sıfıra gider. Gösterim$d\Omega^2$ küresel koordinat kısmının kısaltmasıdır: çarpanı olmadan $A$, kombinasyon ${dr^2}+r^2d\Omega^2$küresel koordinatlarda düz 3B öklid uzayının çizgi elemanı olacaktır. Herhangi bir sabit değer$r$4d uzay zamanının 3 boyutlu bir altmanifoldunu tanımlar. Eğer$A(r)\neq 0$, bu manifoldda indüklenen metrik $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ Şimdi nerde $r$ ve $A(r)$sabitler. Bu, standart metriktir$S^2\times\mathbb{R}$, faktör nerede $\mathbb{R}$ ekstra koordinatı hesaplar $t$. Ufukta biz var$A(r)=0$ve denklem (1) burada bir anlam ifade etmiyor. Pürüzsüz manifoldu hala orada mantıklı ama bileşenleri metrik yok. Bunu iki yoldan biriyle ele alabiliriz:
Al $r$bu değere keyfi olarak yakın olmak. Bu, veri tabanının topolojisinin ne olduğunu görmek için yeterince iyi.$A(r)=0$manifold olacak. Denklem (1) diyor ki$dt^2$ufukta kaybolur, bu da ufkun boş bir hiper yüzey olduğu gerçeğine karşılık gelir :$t$yön hafiftir (sıfır uzunluğa sahiptir).
Daha da iyisi, 4d metriğinin ufukta iyi tanımlanması için farklı bir koordinat sistemi kullanabiliriz. Gelen Kerr-Schild koordinatları , schwarzschild metriği formu vardır$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ nerede $V(r)$ dışında her yerde iyi tanımlanmıştır $r=0$. Ufuk karşılık gelir$V(r)=1$, nerede $dt^2$terim kaybolur. Ayar$r$ bu özel değere eşit, indüklenen ölçüyü verir $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ Bu, standart metriktir $S^2$, ancak topoloji aslında $S^2\times\mathbb{R}$, nerede $\mathbb{R}$ faktör için hesaplar $t$-koordinat. Yok$dt^2$ (4) 'teki terim, çünkü ufuk boş bir hiper yüzeydir: $t$-yöntünün uzunluğu sıfırdır. Bu, daha önce ulaştığımız sonucun aynısı, ancak şimdi ona daha doğrudan ulaştık çünkü metrik (3) ufukta iyi tanımlanmıştır.