Bir Lie grubundaki kimliğin açık bir komşuluğunun neden tüm Lie grubunu oluşturduğuna dair sezgi

Question

Bağlı bir Lie grubundaki kimliğin açık bir komşuluğunun neden tüm Lie grubunu oluşturduğuna dair sezgi.

düzenleme: Sanırım bunun standart kanıtı, herhangi bir açık mahalle tarafından oluşturulan alt grubun hem açık hem de kapalı bir alt grup olduğunu gösteriyor. $G$ ve böylece hepsi $G$ dan beri $G$bağlandı. Biri bana bu sonucun neden doğru olması gerektiğine dair daha kavramsal bir açıklama verebilir mi?

Answer 1

Bana daha sezgisel gelen alternatif bir kanıt sunmama izin verin - umarım size yardımcı olur. Kanıt kendi başına açık olmalı, ancak daha sonra ayrıntılı bir sezgi açıklaması ekleyeceğim.

Bağlı bir Lie grubu, yola bağlıdır.

İzin Vermek $U$mahalleniz olun. Almaya kadar$U\cap U^{-1}$bunu varsayabiliriz $U$ simetriktir.

İzin Vermek $\gamma : [0,1]\to G$ bir yol olmak $e$ herhangi bir öğeye $x$; ve her biri için$t\in[0,1]$, İzin Vermek $U_t$ yeterince küçük açık bir aralık olmak $[0,1]$ kapsamak $t$ öyle ki $\gamma(t)^{-1}\gamma(U_t)\subset U$. Bu elbette mümkün olduğu için$\gamma(t)U$ mahalle $\gamma(t)$.

Sonra $\bigcup_t U_t = [0,1]$ yani kompaktlık sayesinde $0<t_1<...<t_n<1$ öyle ki $U_0\cup U_{t_1}\cup ... \cup U_{t_n} \cup U_1 = [0,1]$.

Ama sonra (ile $t_0=0,t_{n+1}=1$), her biri için $i$, $U_{t_i}\cap U_{t_{i+1}}$ bazı elementler içermeli $s_i$ (Bunun nedeni ise $[0,1]$ bağlı ve aralıkları seçtim).

Sonra $x=\gamma(1)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)= \gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\gamma(t_n)$.

$\gamma(1)\gamma(s_n)^{-1}\in (\gamma(1)\gamma(U_1))^{-1}\subset U^{-1} = U$ve benzer şekilde, $\gamma(s_n)\gamma(t_n)^{-1}\in U$.

Yani $x\in \langle U\rangle \iff \gamma(t_n)\in \langle U\rangle$. Tabii ki o zaman başlayabiliriz$n$ ve onu elde et $x\in \langle U\rangle \iff e\in \langle U\rangle$, ama bu çok açık: $x\in \langle U\rangle$.

Şimdi bu kanıtın arkasındaki önsezi şudur:$e$ -e $x$her yeterince küçük değeri için $\epsilon$, $\gamma(t)$ ve $\gamma(t+\epsilon)$ sadece bir şeye göre farklılık gösterecek $U$ (veya $U^{-1}$).

Ama kompaktlığı ile $[0,1]$gerekli değeri $\epsilon$ bir şekilde aşağı sınırlıdır (bu yüzden bölümümüzü elde ederiz $t_1<...<t_n$) ve bu, içeride kalırken yeterince büyük atlamalar yapmamızı sağlar $U$ve böylece nihayetinde oluşturulan alt grupta kalmak $U$ sadece atlamaları kaydedersek.

Bu nasıl $G$ "tekdüze" bir boşluktur: iki öğe arasındaki boşluklar arasındaki boşluklar olarak görülebilir $e$ve başka bir unsur; bu, bir çok soruyu yerel sorulara indirgemeyi sağlar.$e$