Bir matris içindeki seri genişletmelerini hesaplama: matris üstel
Bende var $(3 \times 3)$ matris $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ bunun için üstel matrisi hesaplamak istiyorum $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ İzin verirsem $z : = e^{i \theta}$, Sahibim $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ ve $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ Ayar $|z| = 1$ ve beşinci kuvvetin üstündeki matrisin hesaplanması $Y^5$, Bende var $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ Sanırım bunu yardımıyla yeniden yazabilmeliyim $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ ve $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Örneğin, bakarsam $a_{22}$ yukarıdaki terim, neredeyse olduğunu görüyorum $\cos(t)$işe yaramayan sayısal faktörler dışında. Ayrıca$a_{11}$ dönem neredeyse $\cos(t)$bir terim görünmesi dışında $\overline{z} (z+ z)$ dördüncü kuvvetten itibaren ve aynı şey $a_{33}$ ile terim $z$ ve $\overline{z}$değiştirildi. $a_{32}$ terim gibi görünüyor $z \sin(t)$ama yine sayısal katsayılar çalışmıyor.
Soru: Bu girdilerdeki (yani serideki) kalıbı tanıyan ve matrisi üstel olarak hesaplayabilen var mı?$e^{tY}$ kapalı biçimde mi?
Ayrıca, matris üstel ne olurdu $\exp(tZ)$ 'genelleme' $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ ile $z = e^{i \theta}$ tekrar?
Yanıtlar
Ayar $z = e^{i \theta}$iyi bir fikir. Biraz daha netleşir eğer$(- e^{-i \theta})$ ile değiştirilir $-1/z$ onun yerine $-\overline z$ (ve sonucu karmaşık için bile doğru yapar $\theta$).
Böylece sahibiz $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ ve ilk güçler $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ Biri bunu görebilir $\boxed{Y^3 = -2Y}$, tüm güçlerin hesaplanmasına izin verir $Y^n$ açısından $Y$ veya $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ için $k \ge 1$. Bu nedenle$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Genel durum, Matris Üstelini Hesaplamak Cayley-Hamilton Metodu'nda açıklanmaktadır : If$A$ bir $n$boyutlu kare matris ve $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ karakteristik denklemin sıfırları $\det(\lambda I - A) = 0$, sonra $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ nerede $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ doğrusal denklem sisteminin çözümleri $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
Bizim durumumuzda $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ sıfırlara sahip $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. Doğrusal denklem sistemi$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ Çözüm şudur $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ sonucu onaylamak $\exp(tY)$ yukarıda elde ettiğimiz.