Bir polinomun F'ye göre indirgenemez olmasının ne anlama geldiğini açıklamak
F bir alan olsun ve F [x], F'de katsayıları olan belirsiz bir x'teki polinomların halkası olsun. F [x] 'de bir polinom g (x)' in F'ye indirgenemez olmasının ne anlama geldiğini açıklayın.
Şöyle düşünüyorum (doğru yapmak çok önemli):
Bu, bir F Alanında katsayıları olan n> = 1 dereceli polinomun, F üzerinde n'den daha küçük iki sabit olmayan polinomun bir ürünü olarak yazılamıyorsa, F'ye göre indirgenemez olduğu anlamına gelir.
Doğru anlamak için yeterli mi? Ya da belki hepsinin asal olduğu hakkında bir satır ekleyin?
Yanıtlar
En az iki çarpanlı asal sayılara ayırma işlemi olduğunu söylemenize gerek yok, ancak polinom halkaları için eşdeğerdir.
Genel bir halkada bir element $r$olduğu indirgenemez o kadar yazılır her nekadar eğer$r=ab$tam olarak biri $a$ ve $b$ters çevrilebilir. yazı$r\mid a$ varsa $b$ öyle ki $r=ab$Bunu söylemenin başka bir yolu da $r$ indirgenemez eğer, ne zaman olursa olsun $a\mid r$, $r\mid a$.
Bu, asaldan farklıdır: $r$ise asal olmadığını$r$ tersinir sıfır değildir ve ne zaman olursa olsun $r\mid ab$, $r\mid a$ veya $r\mid b$.
İntegral bir alanda (birlikle) $R$, her asal indirgenemez, ancak indirgenemez her ihtiyacın asal olması gerekmez. Her asalın indirgenemez olduğunu görmek için varsayalım ki$r$ asal ve $r=ab$. Dan beri$r=ab$kesinlikle $r\mid ab$. Böylece$r\mid a$ veya $r\mid b$, genelliği kaybetmeden $r\mid a$. Böylece$a=rs$ bazı $s$, ve böylece $$ r=ab=rsb.$$ Dan beri $R$ ayrılmaz bir alandır ve $r(1-sb)=0$bunu görüyoruz $sb=1$. Özellikle,$b$ ters çevrilebilir, böylece $r$ indirgenemez.
Her indirgenemez olan halkalar, benzersiz çarpanlara ayırma alanları veya UFD'lerdir. Bu, her öğenin$r\in R$indirgenemezler olarak çarpanlara ayırmaya sahiptir ve bu çarpanlara ayırmada görünen indirgenemezler, tersinir elemanlarla yeniden sıralama ve çarpma kadar benzersizdir.
Alanlar üzerindeki polinom halkaları (potansiyel olarak birçok değişkende) UFD'lerin örnekleridir, bu nedenle polinom halkaları için indirgenemez için birden fazla potansiyel tanım vardır.