Bir serinin yakınsamasını belirleyin.

Question

İşte dizi: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ Bu seriyi belirlemek için kullandığım yöntem, aşağıdaki diziyi oluşturduğum karşılaştırma testidir: $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Bu, her bir terimin yukarıdaki serideki terimlerden daha büyük olduğu bir yakınsak seri oluşturur, böylece yukarıdaki serinin yakınsak olduğunu belirledim. Ancak haklı olup olmadığımı bilmiyorum. Bu nedenle, eğer yanılıyorsam, lütfen bana bunu nasıl doğru bir şekilde yapacağımı söyleyin veya doğruysam, lütfen benimle teyit edin veya tartışma için yukarıdaki serinin yakınsamasını belirlemek için bana alternatif bir yöntem sağlayın. Teşekkürler.

Answer 1

Açıkçası, bazı testleri kullanmak için açık bir talimat olmadıkça, bu tür serileri karşılaştırma testi (CT) yerine limit karşılaştırma testi (LCT) açısından düşünmeyi tercih ederim .

LCT'nin olağan ifadesi şuna benzer: Farz edin ki $\{ a_n \}$ ve $\{ b_n\}$ ile diziler $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ hepsi için $n$. Eğer$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ var ve sıfır değil, o zaman $\sum a_n$ ve $\sum b_n$ yakınlaşır veya birbirinden ayrılır.

LCT, eşitsizliğin yönüne daha az önem veriyor (sinir bozucu olabilecek belirli eşitsizlikleri doğrulamanız gereken CT'nin aksine) ve asimptotikler hakkında daha fazla önem veriyor, bu da onu çok daha güçlü kılıyor. Uygun olanı aramaya gelince$b_n$karşılaştırma noktası olarak kullanmak için? Genel fikir, pay ve paydadaki en baskın terimlere (yani, sonsuzluğa en hızlı yükselen terimlere) bakmaktır.

Örneğinizde, paydaki baskın terim şudur: $\sqrt{n}$paydadaki baskın terim ise $n^8$. Bu kullandığımızı gösteriyor$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, burada gerçekten güzel çalışıyor. Biz alırız$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$ve biliyoruz $\sum b_n$ ile birleşir $p$-Ölçek. Böylece orijinal seri de öyle.

Answer 2

Bu yöntemin kendi adı vardır Doğrudan karşılaştırma testi ve aşağıdakileri belirtir:

Eğer serisi $\sum b_n$ birleşir ve $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ yeterince büyük için $ N \in \mathbb{N}, n> N$, sonra $\sum a_n$ aslo birleşir.

Tutar $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ karşılaştırma ise $\forall n \in \mathbb{N}$.

Eğer $\sum a_n$ farklılaşır, sonra $\sum b_n$ farklıdır.

Kitapta: Murray H. Protter, Charles B. Jr.Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - sayfa 105, Teorem 9.

Answer 3

Çözümünüz iyi, ancak biraz güvensiz hissediyorsunuz, testin neden işe yaradığını göstereyim: bir dizi $\sum_{k= 1}^\infty a_k$, tanım gereği, kısmi toplamlar dizisinin sınırını temsil eder $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, için $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.

Her ne zaman $a_k$ pozitif, sonra sıra $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$kesin olarak artan pozitif gerçek sayılar dizisidir ve bu nedenle, ancak ve ancak sınırlıysa yakınsadığı gösterilebilir .

Eğer $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ o zaman bunu görmek kolay $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ her biri için $k\in \mathbb N $, ve bu yüzden

$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$

$\Box$