Bir sınırın var olduğunu kanıtlamak, değerinin gerçek (sonlu) olduğunu göstermeye eşdeğer mi?
Tao analizi çalışıyorum I. Sorum, sonuçların limit yasasını kullanarak kanıtlanmasından kaynaklanıyor, bu 7.2.14 (c) önermesinden bir örnek:
c) Bırak $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ gerçek sayılar dizisi olalım ve $k\geq 0$bir tamsayı olun. İki seriden biri$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ ve $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ yakınsak, o zaman diğeri de ve aşağıdaki kimliğe sahibiz $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$
Kanıtlama girişimim: $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ ve $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$o zaman bizde $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ hepsi için $N\geq m+k$, (ifade ayrıca ne zaman $N<m+k$ ile $T_N=0$ ve $S_N$ dizinden sonra gereksiz sıfır terimleri var $N$ ), limiti alarak $N\to \infty$, sahibiz $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ sonlu toplam bağımsız olduğundan $N$.
Şimdi varsayalım $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ yakınsamak $L$ , sonra $\lim_{N\to\infty}S_N$ var ve eşittir $L$ve izin ver $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, sonlu toplamlar yakınsak olduğundan, sorum şu sonuca varmak için önceki iki sonucu kullanabilir miyiz? $\lim_{N\to\infty}T_N$ var ve eşittir $L-M$.
Yoksa bunu kanıtlamalı mıyım $S_N$ bir Cauchy dizisidir ancak ve ancak $T_N$dır-dir? Yine, bir çözüm veya kanıt doğrulaması aramıyorum, sorumun başlığından da anlaşılacağı gibi: değerinin sonlu olduğunu göstermeye eşdeğer bir sınırın varlığını kanıtlamak mı?
Daha mantıklı bir ifadeyle aşağıdaki $equivalence$ doğru ifade: sınır var $\longleftrightarrow$ limit değeri $\in \mathbb{R}$.
Cevabınız evet ise, neden sınırların var olduğunu varsayamıyoruz, o zaman değerini hesaplamaya çalışın ve eğer gerçekse o zaman var olduğu sonucuna varın, örneğin $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ ve eşittir $L$, sonra $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ o zaman bizde $(x-1)L=0$. Dan beri$x=1$ her gerçek için $x$ saçma, biz şu sonuca varıyoruz $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ ne zaman $x\neq 1$. Bununla birlikte, ilk etapta limit olmadığı için yukarıdaki mantığın yanlış olduğunu biliyoruz.
Yanıtlar
Her şeyden önce, oy verdim; güzel bir çalışma, güzelce gösterildi.
Analizinizin iyileştirilmesi gereken bazı alanlar görüyorum:
(1)
İfade etmeliydin
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$
Bu yazdığınızdan farklı.
(2)
Buradaki yaklaşımınıza (sevdiğim gibi) devam ederek, yukarıdaki düzeltmeyi yerine
getirerek, RHS'deki ilk terim:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
sabit sayıda terimin (ve dolayısıyla sonlu) toplamıdır , çünkü$m$ ve $k$ sabit sayılardır (varsayıyorum).
Bu nedenle, yaklaşımınızı kullanarak, bunu yazardım
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, ile $S$ bağımsız bir$N$,
Ve daha sonra yazılı$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $
Daha sonra, gösterim basitliği için ben yazdım olacaktır:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$
(3)
O zaman sorun bunu göstermeye indirgenirdi.$T$ sonludur (sonsuzdan ziyade) ancak ve ancak $(T + S)$ sonludur.
Sorunun tüm noktası budur ve sezginizin genişlemesini istediğiniz yer burasıdır. Yukarıdakiler, ancak ve ancak, iddianın kullanımı göstermek için açık olması gerekiyorsa$\epsilon, \delta$ Sınıfınızdaki tanım sonsuz toplamı yeniden oluşturur.
Bunun nedeni açıktır ki $\sum_{n=m}^N a_n = S + T_N.$
Buradan alabilir misin?