Bir sınırın var olduğunu kanıtlamak, değerinin gerçek (sonlu) olduğunu göstermeye eşdeğer mi?

Aug 18 2020

Tao analizi çalışıyorum I. Sorum, sonuçların limit yasasını kullanarak kanıtlanmasından kaynaklanıyor, bu 7.2.14 (c) önermesinden bir örnek:

c) Bırak $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ gerçek sayılar dizisi olalım ve $k\geq 0$bir tamsayı olun. İki seriden biri$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ ve $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ yakınsak, o zaman diğeri de ve aşağıdaki kimliğe sahibiz $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Kanıtlama girişimim: $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ ve $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$o zaman bizde $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ hepsi için $N\geq m+k$, (ifade ayrıca ne zaman $N<m+k$ ile $T_N=0$ ve $S_N$ dizinden sonra gereksiz sıfır terimleri var $N$ ), limiti alarak $N\to \infty$, sahibiz $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ sonlu toplam bağımsız olduğundan $N$.

Şimdi varsayalım $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ yakınsamak $L$ , sonra $\lim_{N\to\infty}S_N$ var ve eşittir $L$ve izin ver $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, sonlu toplamlar yakınsak olduğundan, sorum şu sonuca varmak için önceki iki sonucu kullanabilir miyiz? $\lim_{N\to\infty}T_N$ var ve eşittir $L-M$.

Yoksa bunu kanıtlamalı mıyım $S_N$ bir Cauchy dizisidir ancak ve ancak $T_N$dır-dir? Yine, bir çözüm veya kanıt doğrulaması aramıyorum, sorumun başlığından da anlaşılacağı gibi: değerinin sonlu olduğunu göstermeye eşdeğer bir sınırın varlığını kanıtlamak mı?

Daha mantıklı bir ifadeyle aşağıdaki $equivalence$ doğru ifade: sınır var $\longleftrightarrow$ limit değeri $\in \mathbb{R}$.

Cevabınız evet ise, neden sınırların var olduğunu varsayamıyoruz, o zaman değerini hesaplamaya çalışın ve eğer gerçekse o zaman var olduğu sonucuna varın, örneğin $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ ve eşittir $L$, sonra $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ o zaman bizde $(x-1)L=0$. Dan beri$x=1$ her gerçek için $x$ saçma, biz şu sonuca varıyoruz $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ ne zaman $x\neq 1$. Bununla birlikte, ilk etapta limit olmadığı için yukarıdaki mantığın yanlış olduğunu biliyoruz.

Yanıtlar

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Her şeyden önce, oy verdim; güzel bir çalışma, güzelce gösterildi.

Analizinizin iyileştirilmesi gereken bazı alanlar görüyorum:

(1)
İfade etmeliydin
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Bu yazdığınızdan farklı.

(2)
Buradaki yaklaşımınıza (sevdiğim gibi) devam ederek, yukarıdaki düzeltmeyi yerine
getirerek, RHS'deki ilk terim:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
sabit sayıda terimin (ve dolayısıyla sonlu) toplamıdır , çünkü$m$ ve $k$ sabit sayılardır (varsayıyorum).

Bu nedenle, yaklaşımınızı kullanarak, bunu yazardım
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, ile $S$ bağımsız bir$N$,
Ve daha sonra yazılı$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Daha sonra, gösterim basitliği için ben yazdım olacaktır:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
O zaman sorun bunu göstermeye indirgenirdi.$T$ sonludur (sonsuzdan ziyade) ancak ve ancak $(T + S)$ sonludur.

Sorunun tüm noktası budur ve sezginizin genişlemesini istediğiniz yer burasıdır. Yukarıdakiler, ancak ve ancak, iddianın kullanımı göstermek için açık olması gerekiyorsa$\epsilon, \delta$ Sınıfınızdaki tanım sonsuz toplamı yeniden oluşturur.

Bunun nedeni açıktır ki $\sum_{n=m}^N a_n = S + T_N.$

Buradan alabilir misin?