Bir takım içinde bir grupta olma olasılığı

Question

Okula gitmeyeli uzun zaman oldu, bu yüzden matematiğim gerçekten paslı.
Oynadığım bir oyun var ve on kişilik bir grup var ve ikisi rastgele "sahtekar" olarak seçiliyor.
Sahtekarlardan biri olarak seçilme olasılığım nedir?

Bunu şu şekilde gerekçelendirdim:
Bir sahtekar olmamın yollarının sayısı =$\binom{1}1$.
Bir sahtekar olarak ikinci kişinin seçilmesi için yol sayısı =$\binom{9}1$.
Toplam numune alanı =$\binom{10}2\binom{8}8$.

Yani sahtekâr olma olasılığım $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$

Baktığımda $m$ sahtekarlar ve $n$ oyuncular, son bir olasılık elde etmek için aynı mantığı kullandım $\frac{m}{n}$. Bazı nedenlerden dolayı bu sonucu beklemiyordum (sadece sabit bir oran olacağını). Bunun için bir sezgi var mı? Sonucun daha az olmasını bekliyordum$m/n$, bir takım seçmek için çok fazla permütasyon olduğu için $m$ sahtekarlar (örneğin, eğer $m = 10$, $n = 140$)

Answer 1

Pay yanlış: Sahtekarlardan biri olduğunuz yolları arıyorsunuz. 9 kişi arasından bir başkasının seçildiği siz ve bir başkası olmak üzere 9 olasılık vardır. Sizin ve diğer kişinin sırasının önemli olmadığını, bu nedenle diğer kişiyi seçmenizin yeterli olduğunu unutmayın.

Düzenleme: Genel olarak, sahip olduğunuz $n$ insanlar (siz dahil) ve $m$ sahtekarlar.

Bir sahtekar olma olasılığınız: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Pay yine sizden başka sahtekarların sayısıdır ve payda yine başka kısıtlamalar olmaksızın sahtekarların seçimidir.

Bu, bana göre aslında çok sezgisel - n kişiden azı sahtekar, yani $m/n$bir sahtekar olma olasılığı. Bu "300 kişiden 1'inde Koronavirüs var, bu yüzden buna sahip olma olasılığınız (çok objektif bir bakış açısından - sizi hiç tanımıyorum) 1 / 300'dür.