Birikim noktalarının tanımında kafa karışıklığı
Analiz çalışmalarının ardında daha iyi bir sezgi elde etmek için dizilerin sınırları ve birikim noktaları hakkında biraz bilgi edinmeye çalışıyordum ve dizilerin ve kümelerin sınırlarının, sınır noktalarının ve birikim noktalarının tanımları konusunda kafam karıştı.
İlk sorum, birikim noktasıyla aynı olan bir dizinin sınırı ve çevrimiçi baktığım sınır noktasıyla aynı ve hepsi çok belirsiz. İkinci kafa karışıklığım, bir dizinin sınırının bir kümenin sınırı ile aynı olmasıdır, eğer yoksa, neden olmasın?
Bunun muhtemelen hepiniz için çok basit ve muhtemelen önemsiz bir kavram olduğunu biliyorum ama beni çok şaşırttı. Şimdiden teşekkürler
Yanıtlar
Bir sınır noktası, bir birikim noktasıyla aynı şeydir ve tanımı şudur:
Bir nokta $x$ bir setin sınır noktasıdır $A$ eğer her mahalle için $S$ nın-nin $x$ var $y \in S$ öyle ki $y \in A$, $y \neq x$.
"Biriktirme noktası" adını şiddetle tercih ediyorum, çünkü burada gerçekten sınırlar koymuyorsunuz ... tam tersi! Limitleri yapabilmek için normalde biriktirme noktalarına ihtiyacınız vardır, çünkü bir limitin topolojik tanımı mahalleleri alıp oradaki fonksiyonu hesaplamayı gerektirir.
İkinci sorunuz hakkında:
Bir nokta $x$bir dizi için bir birikim noktasıdır $\{x_n\}$ mahalle varsa $S$ nın-nin $x$ sonsuz sayıda endeks olacak şekilde $n$ öyle ki $x_n \in S$.
Esasen yukarıdaki tanımla aynıdır, ancak $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Bununla birlikte, bir nokta, bir bir sınır noktası , bir dizi için, eğer tüm belirli bir süre sonra endeksleri$n$herhangi bir mahallede. Resmen:
Bir nokta $x$ bir dizinin sınırıdır $\{x_n\}$ mahalle varsa $S$ nın-nin $x$ var mı $N \in \mathbb{N}$ öyle ki $x_n \in S$ hepsi için $n>N$.
Ve bu sadece bir birikim noktası olmaktan daha güçlüdür: sıralamayı dikkate alarak farkı görebilirsiniz. $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Herhangi bir mahalle$1$ bu dizinin sonsuz sayıda noktasını içerir, yani tüm $x_{2n}$ belli bir süre sonra $n$. Benzer şekilde, herhangi bir mahalle$-1$ hepsini içerecek $x_{2n+1}$ belli bir süre sonra $n$yani ikisi de $1$ ve $-1$ küme noktalarıdır $x_n$. Bununla birlikte, herhangi bir sınır yoktur (aslında, varsa sınırlar benzersizdir).
Limit ve limit noktası arasında fark vardır. Kavram, diziler ve işlevler için tanımlanmıştır, ancak yukarıdaki yanıtta belirtildiği gibi sınır noktası kümeler için tanımlanmıştır. Bir dizinin sınır noktası olabilir ancak sınırı olmayabilir. Örneğin izin ver$\{a_n\}$ olarak tanımlanır $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Bu $a_n=1+\frac{1}{n} $ garip n'ler için ve $a_n=-1+\frac{1}{n} $çiftler için. Bu sırada her ikisi de$1$ ve $-1$ sınır noktasıdır ancak sıra yakınsak değildir ve sınır yoktur.