Birinci HK teoremi ile ikinci HK teoremi arasındaki ilişki nedir?

Question

İlk Hohenberg-Kohn (HK) teoremi : Dış potansiyel$v(\vec{r})$temel durum elektron yoğunluğu tarafından önemsiz bir katkı sabiti içinde belirlenir$\rho(\vec{r})$.

Temel kuantum mekaniğinden şunu biliyoruz:$v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0\rightarrow \rho$. Birinci HK teoremine göre, şunu da bilebiliriz:$\rho \rightarrow v(\vec{r})\rightarrow \hat{H} \rightarrow \psi_0,\psi_1,\cdots$. Özünde, ilk HK teoremi, dış potansiyeller ve taban durum yoğunlukları arasındaki birebir eşlemeyi kanıtlar.$\rho$çok elektronlu sistemlerde

İkinci HK teoremi : Yoğunluğun evrensel bir fonksiyoneli vardır,$F_{HK}[\rho']$, öyle ki herhangi biri için$N$- temsil edilebilir yoğunluk ($\textit{i.e.}$için bir dalga fonksiyonundan gelen herhangi bir yoğunluk$N$-elektron sistemi)$\rho(\vec{r})$belirli sayıda elektron veren$N$, enerji fonksiyoneli,$$E[\rho'] = F_{HK}[\rho']+\int \rho'(\vec{r})v(\vec{r}) d\vec{r} \geq E_g \tag{1} $$hangisinde$E_g$temel durum enerjisidir ve yoğunluk olduğunda eşitlik geçerlidir$\rho'(\vec{r})$muhtemelen dejenere, temel durum yoğunluğudur$\rho_0'(\vec{r})$dış potansiyel için$v(\vec{r})$.

İki ifadeden, iki teorem arasında herhangi bir bağlantı göremiyorum. Peki iki teorem arasındaki ilişki nedir? Eğer$F_{HK}(\rho')$taban durum yoğunluğunun fonksiyonu ise, iki teorem arasında bir bağlantı kurabilirim. Ama yoğunluk$F_{HK}[\rho]$temel durum yoğunluğu gerekli değildir.

• İlk HK teoremi hakkında:http://unige.ch/sciences/chifi/wesolowski/public_html/dft_epfl_2016/part_I/dftepfl_part_II.pdf
• İkinci HK teoremi hakkında:https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128136515000048?via%3Dihub

Answer 1

Gösteriminizi kullanarak, evrensel işlevin tanımı şu şekildedir:

$$ F_{HK}[\rho] = \left< \psi_0[\rho] \right| \hat{T} + \hat{W} \left| \psi_0[\rho] \right>, $$

nerede$\hat{T}$ve$\hat{W}$sırasıyla kinetik ve elektron-elektron etkileşim operatörleridir. Bu tanım, yoğunluklar ve bunlara karşılık gelen temel durum dalga fonksiyonları arasındaki bire bir eşleme nedeniyle mümkündür (yani,$\psi_0$bir işlevseldir$\rho$), aradığınız bağlantı olduğuna inanıyorum.

Answer 2

Resmi bir bağlantı, birinci teoremin ikincisinin ispatında kullanılmasıdır. Gerçekten de ikincisi, şu ilkenin bir çevirisidir:$E[\Psi']$doğru temel durum dalga fonksiyonunda minimuma sahiptir$\Psi$, bire bir yazışmaları kullanarak$\rho \leftrightarrow \Psi$birinci teoremden bilinir.

Türetme, Kohn ve Hohenberg'in orijinal makalesinde (kısım I-2.) bulunabilir . Oldukça kısa ve okunması kolay, bu yüzden bir göz atmaya değer.