Bolzano-Weierstrass ve karmaşık analitik fonksiyonun sıfırları
Bir ders kitabı alıştırması üzerinde çalışıyorum. Benzer bir soru: Sıkışık bir bölgedeki bir analitik fonksiyonun sonlu sayıda sıfır vardır , ancak bu benim için pek açık değil ve benim de muhtemelen başka bir yaklaşımım var mı? Temelde aynı soruyu kanıtlamak istiyorum, eğer$f$ içinde ve basit bir kapalı sınır üzerinde analitiktir $C$ (muhtemelen içerideki kutuplar hariç $C$) ve tüm sıfırlar $f$ içeride $C$ ve sonlu mertebeden, o zaman sıfırlar sonlu çok olmalıdır.
Umarım aşağıdaki girişimim doğrulanabilir veya düzeltilebilir.
Benim girişimim:
Tersini varsayalım. Sonra Bolzano-Weierstrass tarafından set$S$ tüm sıfırların $f$ (sonsuz olan) içinde bir birikim noktası içerir $C$. Diyelim ki öyle$z_0$. Bu$z_0$ aynı zamanda sıfırdır $f$ sınır olduğundan, sıfırların bir alt dizisi $S$ ve $f$analitiktir (dolayısıyla da süreklidir). Varsayım olarak, sonlu düzenin sıfır olduğunu varsayalım.$m$.
Bunu herhangi bir mahallede iddia ediyorum $N$ nın-nin $z_0$, $f$aynı sıfır olamaz. Bunu görmek için yaz$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ nerede $g$ sıfır değildir ve analitiktir $z_0$. Dolayısıyla bu özellikleriyle$g$etrafında bir mahalle var $z_0$ (ile kesişti $N$) nerede $g$sıfır değildir. Ancak, bu mahalle başka bir (farklı) sıfır içeriyor, diyelim ki$z'$, nın-nin $f$birikim noktası tanımına göre. Dolayısıyla$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, bunu ima etmek $g$ bu mahallede sıfır olabilir, bir çelişki.
Şimdi ders kitabındaki bir teorem ile, çünkü $f$ analitiktir ve sıfırdır $z_0$, ancak hiçbir mahallede aynı sıfır değil $z_0$, silinmiş bir mahalle olmalı $z_0$ nerede $f$özdeş sıfırdan farklıdır . Ancak yine, bu silinmiş mahallede sıfır$f$, söyle $z''$, birikim noktası tanımına göre, çelişen $f$orada aynı şekilde sıfır olmayan. QED.
Yani sorularım şöyle olurdu:
Yukarıdakiler geçerli mi? Değilse hangi kısım iyileştirilmeli?
Başka yaklaşımlar var mı?
Genellikle Q2 daha ilginçtir, ancak Q1'in de yanıtlanmasını çok takdir ediyorum. Çok teşekkürler!
DÜZENLEME: Şimdi bazı yorum girdilerinden sonra düşünüyorum:
İlk paragrafım güzel olmalı.
- İkinci paragrafıma gelince, şunu yapmalıyım:
Gibi $z_0$ düzenlidir $m$, yazabiliriz $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ nerede $g$ analitiktir ve sıfırdan farklıdır $z_0$. Sürekliliği ile$g$ ve sıfırdan farklı olmak $z_0$bir mahalle var $z_0$ nerede $g$özdeş sıfırdan farklıdır. Siliniyor$z_0$ Orada, $f$bu silinen mahallede sıfırdan farklıdır. Ancak bu, gerçeği ile çelişmektedir.$z_0$sıfırların birikme noktasıdır. Bitti mi?
VEYA
- Başka bir yöntem de şunu söyleyebilirim: Ya $f$ herhangi bir mahallede aynı sıfır değildir $N$ nın-nin $z_0$ veya $f$ bazı mahallelerde aynı şekilde sıfırdır $N$ nın-nin $z_0$. İlki için, benim orijinal üçüncü paragrafım sona eriyor. İkincisi için, özdeşlik teoremi ile$f$ içinde aynı sıfır olmalıdır $C$. Analitik olarak, sonsuz mertebeden tüm mertebeden türevleri sıfırdır. Bitti mi?
Yanıtlar
Ben şunu öneriyorum: ispat edelim ki eğer bir fonksiyon $f$ bölgede analitiktir $R$ basit bir kapalı konturun içindeki tüm noktalardan oluşur $C$Muhtemelen içerideki kutuplar hariç $C$ve eğer tüm sıfırlar $f$ içinde $R$ içeride $C$ve sonsuz mertebelidir, bu durumda bu sıfırlar sayı olarak sonsuz olmalıdır. Sanırım şu koşulu eklemeliyiz$\;f\;$ herhangi bir önemsiz olmayan açık, bağlantılı alt kümesinde sıfıra eşit değildir $\;R\;$. Bu, hala bulamadığım bir kitaptan (bununla ilgili 1981'den bir makale buldum ...) ve aslında istediğiniz şeye çok yakın bir şey gibi görünüyor. İşlev için yukarıdaki koşulların$\;f\;$ aslında işlevin, içinde bulunduğu etki alanındaki meromorfik olduğunu söyler $\;C\;$ .
İspat: Sonsuz sıfır olduğunu varsayalım$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ nın-nin $\;f\;$ içeride $\;C\;$. Sonra Bolzano-Weierstrass tarafından var$\;z_0\;$ açık $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Sürekliliği ile$\;f\;$ bunu anlıyoruz $\;f(z_0)=0\;$ ayrıca.
Tüm sıfırları varsaydığımız için $\;f\;$ açık $\;R\;$sonlu mertebede ve izole edilmiş , var$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ bazı açık mahallelerde $\;U\;$ nın-nin $\;z_0\;$ ve bazı meromorfik işlevler için $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Olası kutuplardan beri$\;f\;$ içeride $\;C\;$ tecrit edilmiş, bir mahalleyi alabiliriz $\;V\;$ nın-nin $\;z_0\;$ kutupların olmadığı yerde $\;f\;$ içeride $\;V\;$ ve yukarıdaki ilişkiyi alın $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ içinde $\;U':=U\cap V\;$, ve bu zaman $\;g\;$sıfır değildir ve analitik olarak$\;U'\;$ .
Böylece neredeyse bitirdik, o zamandan beri analitik fonksiyonların özdeşlik teoremi ile bunu elde ederiz $\;f\;$ birbirine bağlı bazı mahallelerde aynı şekilde sıfır olacaktır $\;z_0\;$ , çünkü bu nokta bir kümenin birikim noktasıdır. $\;f\;$ ve sıfır işlevi çakışır ve bu, yukarıda eklenen diğer koşulla çelişir.