Boyut yörüngesi nasıl anlaşılır $1$ bu durumda

Question

Grup teorisinde kendi kendine çalışan bir acemiyim, bu yüzden lütfen bazı basit cevapları olabilecek bu soruyu yanıtlayın. Verilen bir$p$-grup $G$ biraz asal için $p$, İzin Vermek $H$ alt grubu olmak $G$. İzin Vermek$X$ tüm eşleniklerinin kümesi olmak $H$.

Şimdi, $H$ Üzerinde davranır $X$konjugasyon ile. En azından olduğunu okudum$p$ boyut yörüngeleri $1$ içinde $X$.

Boyuta sahip bir yörünge örneği $1$ dır-dir $\{H\} \in X$. Bu örnek,$aHa^{-1}=H$ herhangi $a \in H$ dan beri $H$ bir alt grup ve bizde $\text{Orb}(H)=H$.

Ama o zamandan beri okudum $p$ asal, en azından $p-1$ boyuttaki diğer yörüngeler $1$. Yani başka bir yörünge olmalı$gHg^{-1} \neq H$ boyut $1$ içinde $X$.

Anlamadığım şey nasıl $gHg^{-1}$ boyutta olabilir $1$ eylemi altında $H$. Bunun anlamı olmamalı mı$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ ve $\text{Orb}(gHg^{-1})$ şuna eşit olmayabilir $gHg^{-1}$. Ancak, boyutu olmalı$1$bu şu anlama geliyor $\text{Orb}(gHg^{-1})$ aslında eşit olmalı $gHg^{-1}$.

Referans için, bu sonuç, herhangi bir ekstra koşulun uygulanmadığı Rotman'ın Teorem 4.6'dan geldi. $H$ ve $G$ bunun haricinde $H$ bir alt grubudur $p$-grup $G$ ... Burada neyi özlüyorum?

Answer 1

Dikkat edilmesi gereken ilk şey, eğer $|X| = 1$ o zaman sahip olmayacağız $p-1$ diğer yörüngeleri de varsaymamız gerekecek $|X| \gt 1$.

İfademizi kanıtlamak için yörüngelerin bu iki özelliğini kullanacağız:

1. Yörüngeler ayrıktır ve birliği tüm settir $X$ (bunu görmek kolay olmalı).

2. Yörünge boyutu grup sırasını böler (bu Yörünge sabitleyici teoreminde kanıtlanmıştır)

Mülkiyete göre (1) buna sahibiz $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ nerede $\mathcal{O}$eylemin tüm yörüngelerini içeren kümedir. Şimdi ayrıldık$\mathcal{O}$ iki ayrık alt gruba: $\mathcal{O'}$ ve $\mathcal{O''}$ nerede $\mathcal{O'}$ boyuttaki tüm yörüngelerin kümesidir $1$ ve $\mathcal{O''}$ büyüklüğündeki tüm yörüngelerin kümesidir. $1$. Bu şu anlama gelir$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ dan beri $|Y'| = 1$. Mülkiyete göre (2) bunu biliyoruz$|Y''|$ böler $|X| = p^n$ ve $|Y''| > 1$ bunun anlamı $|Y''| = p^k$ nerede $k > 1$ bunun anlamı $p$ böler $|Y''|$. Görebiliriz$X$ grup eyleminin grup tarafından eşlenik olduğu bir yörünge olarak $G$. Bunun anlamı şudur ki$|X|$ böler $|G| = p^n$. Dan beri$|X| > 1$ bizde var $p$ böler $|X|$. Dan beri$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ ayrıca bölmek zorunda $|\mathcal{O'}|$ bunun anlamı $|\mathcal{O'}| = pm$ bazı $m \gt 1$ bunun anlamı $|\mathcal{O'}| \geq p$ ispatlamaya çalıştığımız da buydu.