Boyutlar ve düğünlerle karıştır
Topolojide yeniyim ve bu, belki de çok basit (veya felsefi) soru için şimdiden özür dilerim.
Her zaman simitin simit şeklinde bir yüzey olduğunu düşünmüşümdür. $\mathbb{R}^3$. Ancak, topolojiyi incelemeye başladıktan sonra torusun$S^1 \times S^1$ ve doğal olarak şu şekilde tanımlanır: $\mathbb{R}^4$. Ama aynı zamanda, anladığım kadarıyla, bir simitin popüler 3B temsili,$\mathbb{R}^3$Bu nedenle, gömme tanımına göre, doğal 4d simit, kolayca görselleştirilebilen 3 boyutlu simit için homeomorfiktir.
Bir simit oluşturmak için bir karenin bölümünü (kenarları belirleyerek) aldığımızda, bunu görselleştirerek kendimizi kandırmıyor muyuz? $\mathbb{R}^3$, çünkü gerçek bir 4d simitten biraz "dilim" aldık. Buradaki sorumu, gömmenin bir homeomorfizm olduğunu belirterek cevaplamış olabilirim, ancak yine de boyut, gömme ve homeomorfizm arasındaki bağlantıların ne olduğunu anlamak istiyorum .
Torus 2 boyutludur, çünkü onu tanımlamak için 2 nokta yeterlidir (her biri için bir nokta) $S^1$), ancak her daire doğal olarak $\mathbb{R}^2$bu yüzden ihtiyacımız var $\mathbb{R}^4$.
Torusu "yansıtırken" "bilgi" kaybediyor muyuz? $\mathbb{R}^4$ -e $\mathbb{R}^3$? Sadece görsel kayıp mı yoksa topolojik mi?
3 top atmayı hayal edebiliyorum $\mathbb{R^3}$ ve onu 2 bilyeli (disk) olarak "küçültmek" $\mathbb{R}^2$ tarafından $z \to 0$. Bu geçiş sırasında$\mathbb{R}^3$ -e $\mathbb{R}^2$ Açıkça hem görsel hem de topolojik bilgileri kaybettik (n-top, m-top için homeomorfiktir $\iff$ n = m).
Homeomorfizm "iç" boyutu koruyor mu, ancak dış (dışsal) alanı "umursamıyor" mu?
Yanıtlar
'Doğal' torusu gerçekten şu şekilde görmüyorum $S^1 \times S^1$ Oturmak $\mathbb{R}^4$. Simidi görmenin birden fazla eşdeğer (okuma: homeomorfik) yolu vardır, bunlardan biri tanıdık 'halka' resmidir. Diğer iki tanesi şöyle olurdu$S^1 \times S^1$ Oturmak $\mathbb{R}^4$veya belirttiğiniz gibi karenin bir bölümü olarak.
Sonuç olarak, bir matematikçi için simit kendi başına bir nesnedir . Gömülebileceğiniz çevresel bir Öklid uzamının olup olmadığı bir bakıma önemsizdir. Bu, şeklini tanımlayan 'açık alt kümeler' koleksiyonuyla birlikte sadece bir dizi nokta.
Sorularınıza gelmek için: topolojik bir uzay verildiğinde (örneğin, uzay $X$bölüm topoloji taşıyan zıt yanları) tanımlayarak karenin bölüm olan biz deneyebilirsiniz görselleştirmek bunu gömme bir Öklid uzaya. Topolojik uzayın gömülmesi$X$ Öklid uzayına $\mathbb{R}^n$ sadece bir harita $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ öyle ki $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ bir homeomorfizmdir.
Öyleyse ortaya çıkıyor $X$ gömülebilir $\mathbb{R}^3$ama aynı zamanda $\mathbb{R}^4$. Bunları 'gerçekleşme' olarak düşünün$X$daha büyük bir ortam alanında. Her iki gerçekleşme de homeomorfiktir.$X$(duh, gömülmenin ne olduğunun tanımı gereği), bu yüzden aynı zamanda birbirlerine homomorfiktirler. Böylece hiçbir bilgi kaybolmaz.
Torusun 'halka' resmini, gerçekliğin öngörülen versiyonu olarak düşünmek doğru değildir. $\mathbb{R}^4$. Devam eden bir projeksiyon yoktur (örneğin, 3B'de dikey bir silindiri yatay düzlemdeki bir daire dilimine yansıttığınızda). Halka, 4B şeklinin 3B dilimi değil , aynı şekle sahip .
Simitin boyutunun olduğunu söylemek doğru $2$. Bu boyut aynı zamanda ortam alanından da bağımsızdır. Homeomorfizm bu nedenle bu boyutu korur ve dışsal boyutu umursamaz. Burada bir uyarı var: Bir topolojik uzay için 'boyut'un ne anlama geldiğini tanımlamak oldukça zordur, bu yüzden simitin 2. boyuta sahip olduğu iddiasını kanıtlamak zordur.