Bu denklemi Lambert W fonksiyonunu kullanarak çözmek mümkün mü?

Question

Bir okul projesi üzerinde çalışırken çözülmesi gereken bir denklemle karşılaştım. Lambert'i kullanmayı denedim$W$aşağıdaki denklemi çözme işlevi var ama başarılı olamadım. Çözmek bile mümkün mü$x$ sayısal yöntemler olmadan?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Answer 1

Bunu genel olarak Lambert W kullanarak çözmek mümkün görünmüyor. $a$ veya $b$ oldu $0$.

Parametrelerden birinin küçük olduğu düşünülebiliyorsa bir seri çözüm deneyebilirsiniz. Bu nedenle, bir dizi$k$ dır-dir

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

Answer 2

Resmi bir bakış açısından, bunu yapabilirsiniz.

Denklemi şu şekilde yeniden yaz: $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$genelleştirilmiş Lambert fonksiyonu açısından bir çözüme sahip olan .

Sadece denkleme bir bak $(4)$ bağlantılı kağıtta.

Bu güzel ama pratik açıdan pek kullanışlı değil.

Sayısal bir yönteme ihtiyacınız olacağından, fonksiyonun sıfırlarını bulmak için tahmine ihtiyacınız var

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. İlk türev$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ iptal eder $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Eğer $x_*$varsa, tahmin olarak almak için bu nokta etrafında bir Taylor genişletmesi gerçekleştirin $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Deneyelim $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Bu verecek $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Sonra $x_0=1.58434$ kesin çözüm ise $x=1.50069$.

Sahip olduğumuzdan beri $x_0$, Newton yöntem yinelemelerine bakalım; olucaklar$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$