Bu olasılık sorusunun bu iki çözümü arasındaki fark nedir?
Sorun: 8 aynı top rastgele üç torbaya yerleştirilir. İlk torbanın 3 top içerme olasılığı nedir?
Bulduğum çözüm: 8 aynı topu 3 farklı torbaya 45 şekilde dağıtabiliyoruz. Bu 45 yoldan 6 şekilde, ilk çanta tam olarak 3 top içerecektir. Yani olasılık$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$
Ancak, iki terimli dağılımla ve Quora'daki insanların çoğu bu soruyu bu şekilde çözdü ve bu yaklaşım da oldukça sezgisel görünüyor, bir topun ilk torbaya yerleştirilme olasılığı 13'tür. 8 topun tam olarak 3'ünün ilk torbada olacağı, binom dağılımı kullanılarak bulunabilir:
8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273
Sadece bilmek istiyorum, bu iki yaklaşımın cevapları neden çok farklı?
Yanıtlar
Sorun, topların "rastgele" yerleştirildiğini söylüyor, ancak bu topların yerleştirildiği rastgele dağılımı veya işlemi belirtmiyor. Cevap kesinlikle bu bilgiye bağlı. Örneğin:
- Eğer birisi topların bitebileceği 45 yolu da listelerse ve sonra bu 45 yoldan birini rastgele bir şekilde seçerse , cevap şu olur:$2/15$ Dediğin gibi.
- Eğer, bağımsız bir şekilde, her bir top, üç torba birine yerleştirilir eşit rastgele, daha sonra cevap$1792/6561$ Quora cevabının dediği gibi.
Bunlar tek olasılık değil. Eğer birisi bir yazı tura atarsa ve madeni para tura ise tüm topları ilk torbaya koyarsa ve madeni para yazı ise tüm paraları ikinci çantaya koyarsa, bu hala topları "rastgele" yerleştirmektir, ancak cevap soru olurdu$0$.
Her zaman bir olasılık dağılımı belirlememiz gerekir. Topların çantalara tek tip ve bağımsız bir şekilde yerleştirilmesini istiyorsak, şunu söylemeliyiz (yazarın niyetiyle ilgili en iyi tahminim bu olsa da).