Bu ortak PDF'nin nasıl çalıştığını anlamıyorum

Question

Bu soru MIT 6.041 OCW'den geliyor.

Bu sorunun b bölümünü anlamıyorum, özellikle nasıl $f_X(x)$ ve $f_{Y|X}(y|0.5)$ hesaplanır.

Anladığım kadarıyla, ortak PDF'yi entegre ederek marjinal PDF'yi elde edersiniz, yani $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Bu zaten birçok kafa karışıklığına yol açıyor:

1. Diyagrama göre iki $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ ve $3/2$. Bu ikisini birleştirerek elde ederiz$\frac{1}{2}y$ ve $\frac{3}{2}y$ sırasıyla - hangisinin olması gerekiyordu $f_X(x)$? Ve bir$f_X(x)$ açısından $y$ hatta yasal mı?

2. Çözüm devletler $f_X(x)$ açısından $x$ama entegre olursak $f_{X,Y}(x,y)$ açısından $y$nasıl alabiliriz $x$?

İçin çözüm $f_{Y|X}(y|0.5)$daha da garip; Bir noktanın alanı olmadığı için bireysel nokta sıfır PDF almaz mı? Peki hakkında konuşmak nasıl mümkün olabilir?$X=0.5$ İlk olarak, sıfır olasılık olayının payda olmasına izin vermeyi bırakın?

Answer 1

Söz konusu integraller belirli integraldir, ters türev değil. Örneğin,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Verilen

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

biz alırız $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

ve için $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Diğerleri için bizde

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

ve

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Sonuncunun değerlendirilmesinin parçalı bir sabit fonksiyonun entegrasyonunu gerektirdiğini unutmayın.