Bulma $E[X\mid Y]$ ve $\operatorname{Var}(X\mid Y)$ verilen ortalama ve varyans $X$ ve $Y$
2 normal dağılımımız olduğunu varsayalım $X$ ve $Y$ ortalama ile $u_1$ ve $u_2$ ve varyans $\sigma_1^2$ ve $\sigma_2^2$; bulmak$E[X\mid Y]$ ve $\operatorname{Var}(X\mid Y)$.
biliyorum $$E[X\mid Y] = \mu_1 + \rho\sigma_1 \frac{Y - u_2}{\sigma_2} $$ ve $$\operatorname{Var}[X\mid Y] = \sigma_1 (1 - \rho^2)$$ ama kanıtlayamam.
İçin $E[X\mid Y]$ İle başlıyorum $$E[X\mid Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X|Y}(x\mid y)\ dx$$ ama bu işe yaramıyor çünkü hesaplamak için $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ ihtiyacım var $f_{X,Y}(x,y)$Bende yok. Biri bana yardım edebilir mi?
Yanıtlar
Yoğunluk yaklaşımı işe yarayacak. En basit durumda, varsayalım ki$X$ ve $Y$korelasyon ile her biri standart normaldir$\rho$, böylece eklem yoğunluğu$(X,Y)$ dır-dir $$ f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2)\right] $$ marjinal yoğunluğu ise $Y$ dır-dir $$f(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\left(\frac{y^2}2\right)\right]. $$ Koşullu yoğunluk $\displaystyle f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}$bunların oranıdır. Çok şartlı$Y=y$yoğunluğu $X$ dır-dir $$\begin{align} f(x\mid y)&=\frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2-(1-\rho^2)y^2)\right]\\ &= \frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x-\rho y)^2\right]\end{align} $$ ortalama ile normal bir rastgele değişkenin yoğunluğu olarak tanıdığımız $\rho y$ ve varyans $1-\rho^2$. Bunu takip eder$$ E(X\mid Y=y) = \rho y\qquad{\rm and}\qquad \operatorname{Var}(X\mid Y=y)=1-\rho^2.$$
Genel durum için yazın $\displaystyle X':=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$ ve $\displaystyle Y':=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$. Önceki durumu uygula$X'$ ve $Y'$ve sonuçlandır $$\begin{aligned} E\left (X\mid Y=y\right)&=E\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)=\mu_1+\sigma_1 E\left(X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\mu_1+\sigma_1\rho\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2) \end{aligned} $$ ve $$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X\mid Y=y)&=\operatorname{Var}\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\sigma_1^2\operatorname{Var}\left( X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\sigma_1^2(1-\rho^2).\end{aligned} $$
Bunu kabul edelim $$\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} = \rho \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2} + \sqrt{1-\rho^2} Z \tag{$*$}$$ nerede $Z \sim N(0,1)$ bağımsızdır $Y$. Bir açıklama için cevabımın sonuna bakın.
Sonra \begin{align} E[X \mid Y] &= \mu_1 + \sigma_1 E[(X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y] \\ &= \mu_1 + \sigma_1 \left( E[\rho (Y-\mu_2)/\sigma_2 \mid Y] + E[\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y] \right) \\ &= \mu_1 + \sigma_1 (\rho(Y - \mu_2) / \sigma_2) + \sqrt{1-\rho^2} E[Z] \\ &= \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2} (Y-\mu_2). \end{align} Ottavio Bartenor'un orijinal ifadenizdeki bir yazım hatasını düzelttiğini unutmayın: $E[X\mid Y]$.
Benzer şekilde, \begin{align} \text{Var}(X \mid Y) &= \sigma_1^2 \text{Var}((X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\rho(Y-\mu_2)/\sigma_2 + \sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 (1-\rho^2) \text{Var}(Z) \\ &= \sigma_1^2(1-\rho^2). \end{align} Gönderinizdeki ifadede bir yazım hatası olduğunu unutmayın.
Varsayalım $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ ve $Z \sim N(0,1)$bağımsızdır. İzin Vermek$X$ yukarıdaki eşitliği sağlamak ($*$). İddia şu ki$(X,Y)$ parametrelerle iki değişkenli bir normal dağılım izler $\mu_1, \sigma_1, \mu_2 ,\sigma_2, \rho$.
Kontrol edebilirsin $X$ anlamı var $\mu_1$ ve varyans $\sigma_1^2$. Ayrıca arasındaki korelasyonu kontrol edebilirsiniz.$X$ ve $Y$ dır-dir $\rho$. Ayrıca marjinal dağılımını da kontrol edebilirsiniz.$X$normaldir, çünkü bağımsız normal rastgele değişkenlerin doğrusal bir birleşimidir . Sonunda bunu haklı çıkarmak için$(X,Y)$müştereken (İki değişkenli) normaldir, sen hitap edebilir ortaklaşa Normal dağılımların eşdeğer karakterizasyonu herhangi bir doğrusal kombinasyonunun işaret ederek$X$ ve $Y$ normaldir çünkü bağımsız normal rastgele değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabilir $Y$ ve $Z$