Cebirsel bir değer alan analitik p-adik fonksiyonlar

Question

Varsayalım ki var $r\in\mathbb R$ öyle ki sabit olmayan p-adic fonksiyonu $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ ($a_n\in\mathbb C_p$) üzerinde tanımlanmıştır $\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. Var mı$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? Cevap evetse, var mı$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Answer 1

İlk olarak, evet. Değişerek genelliği kaybetmeden varsayabiliriz$a_1 \neq 0$.

İçin $\alpha\in \mathbb Q$, İzin Vermek $x_0=0$ ve $x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. Kontrol etmek için$x_n$ olarak birleşir $n$ sonsuzluğa, köküne gider $\alpha-f(x)$bunu kontrol etmek yeterli $v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

Bunu yapmak için, sahip olmak yeterlidir $v_p(x_n) \geq s$ ve $v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$ bazı $s \in \mathbb R$ öyle ki $v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$ hepsi için $n > 1$, o zamanki gibi $a_2$ ve daha yüksek $\alpha - f(x_{n+1})$ katkısı hakim olacak $a_1$.

İlk önce böyle bir seçim yaparak bunu sağlamak kolaydır. $s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$ hepsi için $n>1$ (bu serinin aşağıda sınırlı olup olmadığını kontrol edin) ve ardından $alpha$ öyle ki $v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, Böylece $v_p(x_1-x_0)>s$ ve böylece endüktif olarak $v_p(x_{n+1} -x_n) >s$ hepsi için $n$.

İkincisi için hayır. Sadece al$f(z) = z + b$ nerede $b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. Dan beri$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$ sayılamaz $b$ var.