Çizgi integralleri için integral işareti altında ayırt etmek için Leibniz kuralını kullanma

Question

Cauchy'nin integral formüllerini kanıtlamak için çizgi integrali altında farklılaşmanın geçerliliğini kanıtlayan bir referans var mı?

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Theorem 2.27 From Folland's Real Analysis metnini kullanabilirsiniz. Karmaşık sayılar için bu teoremin basitleştirilmiş bir versiyonu şunu söyleyecektir:$C,D$ kompakt, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ herkes için analitiktir $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ her iki argümanda da süreklidir, sonra hepsi için $w\in D$ onu takip eder $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Esasen bunun işe yaramasının nedeni $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland, yukarıdaki çalışmaları garanti etmek için Dominated Convergence Theorem kullanır. Bizim durumumuzda$C\times D$ Tychonoff Teoremi ile kompakttır ve $\partial h/\partial w (z,w)$ sürekli $C\times D$, sonra $|\partial h/\partial w (z,w)|$ yukarıda bir sabitle sınırlanmıştır $M$. Dan beri$C$ sonlu ölçüye (kompakt) sahiptir, bunu takip eder $M\in L^1(C)$ bu nedenle, integral işareti altında farklılaşmayı gerekçelendirmek için Dominated Converges kullanmakta özgürüz.

Senin durumunda, $C$kompakt bir çemberdir. Şimdi için$f(u)/(u-w)$Bunun kompakt bir küme üzerinde tanımlanmadığını söyleyebilirsiniz, ancak değerlerini sınırlarsak $w$ küçük bir kapalı diske ve değerleri $u$ çembere, sonra fonksiyonumuz formun bir alanında tanımlanır $C\times D$ nerede $C,D$ kompakttır.

Answer 2

Burada dikkatli bir kanıt bulabilirsiniz

İşte başka bir yol: Kuvvet serileri hakkında basit gerçekleri kullanarak, bir tamsayıyı düzelttik $n,$ ve yazı $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ içeride $C,$ sahibiz

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Bunu takip eder $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Fakat $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ Sonuç aşağıdaki gibidir.