D𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplicate] olduğunu kanıtlamak için Diferansiyellerin (kısmi türevlerin değil) kullanılması
Ekteki görüntüde ters matrisin her bir bileşeninin parçalarını kanıtlamaya çalışıyorum. Diferansiyelleri kullanmayı ve ardından diğer bileşenleri çözmeyi denedim. (Bu şekilde çözmek istiyorum). Örneğin çözmeye çalışıyorum,$\frac{d\theta}{dx}$ (ters matrisin sol alt kısmında [aşağıya eklenmiştir]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Sonra tuttuğumuzu gözlemleyerek $r = constant$, Böylece $dr = 0$. Anladım$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, hangisi yakın. Bunu kısmi bir hesap makinesine koydum ve$\theta$ x ve r'nin bir fonksiyonu, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Almak$\frac{\partial \theta}{\partial x}$R x ve y'nin bir fonksiyonu olduğu için doğru cevabı aldım. Eğer kullanırsam$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ ve yukarıda belirttiğim şeyin bir kısmını alıyorum ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Ayrıca dr'yi değiştirmeyi denedim$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ kullanarak $r^2=x^2+y^2$ dr'yi ile değiştirerek $rdr = xdx + ydy$dy'nin sabit olduğunu varsaydım. Bu da bana yanlış cevabı verdi. Mantıksal düşüncemi geliştirmek istiyorum, böylece yaptığım şeyle ilgili herhangi bir tavsiye de harika olurdu. Teşekkür ederim!
Özet: Farkları (kısmi değil) kullanarak kanıtlamaya çalışıyorum $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Yanıtlar
Sorun şu ki, sadece yazamazsın $\frac{d\theta}{dx}$. Termodinamikte, gerçekten yararlı ve önemli olan bir gösterim vardır. Hangi değişkenlerin sabit kaldığını belirtmek için bir alt simge ile kısmi türevler yazarlar. Öyleyse, örneğin, eğer sahipsek$z=f(x,y)$ ve türevini bulmak istiyoruz $f$ göre $x$, tamir $y$, Biz yazarız $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Bu önemlidir çünkü etrafta uçuşan çok sayıda değişkenimiz olabilir ve hangi değişkenlerin sabit olduğunu bilmek önemlidir.
Örneğinizde düşünebiliriz $(x,y)$ fonksiyonları olarak $(r,\theta)$. O zaman yazarsak$\partial x/\partial\theta$, bu genellikle şu anlama gelir: $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Düzelttiğinde$r$, o zaman doğru olur (çünkü aslında tek boyutlu hesaplama yapıyoruz) $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Ancak, bunun yerine hesaplamaya çalışarak işleri karıştırıyorsunuz $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$ve bunlar tamamen farklı iki canavar. Gerçekten gerekir bağımsız değişkenlerin izleme hakkında dikkatli olun. Bunları değiştirirseniz, daha fazla zincir kuralı devreye girer.
Sadece tekrarlamak için, karşılaştırmaya çalışıyorsun \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
Bu arada, uyarılırsınız. Genel olarak bizde yok$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Nitekim, o zamandan beri$x=r\cos\theta$, sahibiz $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (hangisi $-y$). Öte yandan,$\theta =\arctan(y/x)$ (en azından $-\pi/2<\theta<\pi/2$), sahibiz $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$çok farklı olan $-y$. Bu senin$-\sin\theta/r$, elbette. Doğru ilişki, ters olan tam türev matrislerinden (Jakobenler denir) gelir.$2\times 2$ matrisler.
Bunu diferansiyellerle (aslında farklı formlar) doğru bir şekilde yapabilirsiniz, ancak yine de bağımsız değişkenlerin kim olduğunu takip etmelisiniz. Ve gerçekten gerekir gibi şeyler yazmayı kes$d\theta/dx$ sürece $\theta$gerçekten sadece tek değişkenli bir fonksiyondur$x$. İlk formülünüzü elde etmek için yazmanız gerekir$d\theta$ sadece açısından $dx$ ve $dr$; saniyeyi almak için yazman gerekecek$d\theta$ her zamanki gibi $dx$ ve $dy$. Bağımsız değişken ne sadece bir soru ler vardır.