Değişmeli olmayan Aharonov-Bohm etkisinin Berry fazı olarak türetilmesi

Aug 17 2020

Michael Berry'nin türevini değişmeli olmayan ayar alanı durumuna genelleyerek değişmeli olmayan Aharonov-Bohm etkisini türetmeye çalışıyorum.$A$.

Şimdiye kadarki türevim

Değişken olmayan bir Berry fazı elde etmek için dejenere bir özuzaya ihtiyacımız var, bu nedenle Hilbert uzayımı $\mathcal{H} = \mathcal{H}_\text{spatial} \otimes \mathcal{H}_\text{internal}$, nerede $\mathrm{dim}(\mathcal{H}_\text{internal})=N$. Dalga fonksiyonları formu alacaktır

$$\Psi(x,t) = \psi(x,t) \mathbf{v} ,$$

nerede $\psi(x,t) $ uzaysal dalga işlevi ve $\mathbf{v} $sistemin iç durum vektörüdür. Şimdi Hamiltonyanımı alıyorum

$$ H(X) = - \frac{1}{2m } (\nabla \mathbb{I} - ie A)^2 + V(X-x)\mathbb{I}$$

nerede $V(X-x)$ parçacığımızı konumunda ortalanmış küçük bir kutunun içine hapseden sınırlayıcı potansiyeldir. $X$, $A$ bizim ölçüm alanımız ve $\mathbb{I}$ kimlik üzerinde mi $\mathcal{H}_\text{internal}$. Bu Hamiltoniyen, Berry'nin türetilmesinde kullanılan Hamiltoniyen ile hemen hemen aynıdır, ancak şimdi bunu bir operatöre yükselttim.$\mathcal{H}$ izin vererek $H$ dahili endekslere sahip olmak ve izin vermek $A$ değişmeli olmayan bir gösterge alanı olacak.

Berry'nin makalesinin sonucunu genelleyen $N$ Hamiltoniyenin enerji ile özdurumları $E$ eğriliğinin olduğu bir bölgede $A$ kaybolur tarafından verilir

$$ \Psi_j(X;x,t) =P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) \psi_E(X;x,t) e_j $$ nerede $P$ yol sıralaması anlamına gelir, $\psi_E$ enerji ile uzaysal dalga fonksiyonudur $E$ ve $e_j$ temel vektörlerdir $\mathcal{H}_\text{internal}$. Bunun diferansiyel operatör olarak gösterilmesi kolaydır$\nabla$ sadece uzamsal serbestlik derecelerine göre hareket eder, bu yüzden her temel vektör için bir özdurumumuz var $\mathbf{e}_j$ve dolayısıyla abelyan olmayan bir Berry bağlantısı için istenen dejenerelik gereklidir. Karşılık gelen Berry bağlantısı şu şekilde verilmektedir:

$$ [\mathcal{A}_\mu]_{ij}(X) = i\langle \Psi_i(X) | \frac{\partial}{\partial X^\mu} | \Psi_j(X) \rangle \\ = i\int \mathrm{d}^n x e_i^\dagger \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) (iA_\mu) P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) e_j \psi_E^*(X;x,t) \psi_E(X;x,t)$$

nerede $\bar{P}$Hermitian konjugatının alınmasından kaynaklanan anti-yol sipariş operatörüdür. Değişken gösterge alanı durumu için$A$, üsteller her şeyi geçip gidecekti ve Berry bağlantısı $\mathcal{A} \propto A$ancak değişmeli olmayan bağlantılar durumunda bunu nasıl değerlendireceğimi bilmiyorum.

Benim sorunum

Birden fazla kaynak, değişmeli olmayan Aharonov-Bohm etkisinin, gösterge alanının Wilson çizgisini vereceğini öne sürüyor.

$$ U = P \exp \left( -i \oint_C A \cdot \mathrm{d} l \right) $$mesela bu ve bu , bana Berry bağlantısının gösterge alanıyla orantılı olduğunu gösteriyor, yani$\mathcal{A} \propto A$, ancak türetmemden, değerlendirmem gereken son satırda takılıyorum

$$ \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) A_\mu P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right)=? $$

Yol sıralı üsteller için bir tür genelleştirilmiş Baker-Campbell-Hausdorff formülü var mı? $e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2} [X,[X,Y]] + \ldots $?

Yanıtlar

3 mikestone Aug 17 2020 at 20:50

Akıyı çevreleyen bir döngüden geçerseniz, dalga işlevi tek değerli değildir. Bir momentum parçacığı üzerindeki değişmeli BA etkisinin çözümünü düşünmüyorum$k$ bir solenoidden saçılma
$$ \psi(r,\theta)= \sum_{l=-\infty}^{\infty} e^{il \theta -(\pi/2)(l-\alpha)}J_{|l-\alpha|}(kr) $$ formunuzda hesaba katılabilir, ancak yanılıyor olabilirim.

Ah - ne yaptığını anlıyorum. Peter Horvathy'nin yaptığı değişmeli olmayan dağılım problemini çözmüyorsunuz. Sadece Michal Berry gibi akının etrafında taşınan küçük bir kutudaki bir parçacıkla ilgileniyorsunuz. Böylece tam saçılma çözümlerini elde edemezsiniz. Berry'nin dediği gibi, çözümü tek değerlidir${\bf r}$ ama sadece yerel olarak ${\bf R}$.

Basitçe bağlantılı bir bölgede yazabiliriz $A_\mu(x) = U^\dagger(x)\partial_{x^\mu} U(x)$ ve benzeri $(\partial_\mu+A)U^{-1} \psi= U^{-1} \partial_\mu\psi$ yazabildiğimizi görüyoruz $\psi(x)= U^{-1}(x)\psi_0(x-X)$ partikül kutusu için $X$ ve nerede $\psi_0$sıfır ayar alanı dalga fonksiyonudur. Bu dalga fonksiyonu seçimi ile Berry bağlantısı sıfırdır çünkü dalga fonksiyonları her zaman o noktada olmak istediği şeydir. Adyabatik Berry nakline ihtiyaç duymaz. Sıfır olmayan bir bağlantı elde etmek için dalga fonksiyonumuzu yeniden tanımlayabiliriz, böylece her kutuda dalga fonksiyonu tamamen aynı görünür. Bunu yapmak için değiştiriyoruz$\psi(x)$ ile $U^{-1}(x) U(X)\psi_0$ böylece merkezde $x=X$ her bir kutunun yeni dalga fonksiyonu $\psi(X)=\psi_0(X)$ pozisyondan bağımsız olarak aynıdır $X$kutunun. Artık hesaplamanız doğrudan${\mathcal A}_\mu(X) = U^{-1}(X)\partial_{X^\mu} U(X)$.

İşte detaylar. Kutudaki dalga fonksiyonunun$$ U^{-1}(x) U(X)\psi_0(x-X)\stackrel{\rm def}{=} \langle x |0,X\rangle $$ nerede $\psi_0$normalleştirildi. O zaman Berry bağlantısı$$ \langle 0,X|\partial_{X^\mu}|0,X\rangle = \int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) U(x) \partial_{X^\mu}\Big( U^{-1}(x)U(X) \psi_0(x-X)\Big)\\ =\int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) \partial_{X^\mu}\Big(U(X) \psi_0(x-X)\Big) $$ Değerlendirilecek iki terim vardır: biri türevin çarptığı $U(X)$ ve çarptığı yerde $\psi_0(x-X)$. İlk olarak$$ \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{X^\mu} \psi_0(x-X)= - \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{x^\mu} \psi_0(x-X)\\ = \frac 12 \int dx \partial_{x^\mu}|\psi|^2\\ =0 $$ çünkü sen ayarladın $\psi_{0,i} = v_i \psi_0$ nerede $v_i$ karmaşık vektör genliği $U$ üzerinde hareket eder ve $\psi$, bağlı bir durum olarak gerçektir ve kutunun sınırında kaybolur. İkincisi$$ U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X) \int dx |\psi_0|^2\\ = U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X)=A_\mu(X). $$ Böylelikle Berry bağlantısı sadece kutunun merkezinde değerlendirilen ölçü alanıdır.