Değişmeyen düğüm diyagramları

Question

(Bunu birkaç gün önce MSE'de net bir çözüm olmadan sordum .)

Her kesişmenin enine olduğu kapalı, kendisiyle kesişen bir virajla başlayın. Şimdi, aşağıdaki gibi alternatif bir düğüm diyagramının tersine benzer bir şey oluşturun. Herhangi bir yerden başlayarak, virajı geçin ve daha önce ziyaret edilmemiş her bir geçişte, yukarı / yukarı gidin. Geçiş daha önce ziyaret edilmişse, atanan geçiş tanımını bırakın.

Aşağıda iki örnek gösterilmektedir. (a) açıkça bilinmeyen. (b) aynı zamanda, belki de o kadar açık bir şekilde değil.

---

^{Kırmızı daire başlangıç ​​noktasını, ok ise çapraz yönü gösterir.}

---

Bu diyagramların açıkça bilinmeyenleri temsil etmesini bekliyordum, ancak net bir kanıt göremiyorum. Yani:

S . Böyle bir düğüm diyagramının her zaman düğümlenmemiş olanı temsil ettiğini kanıtlayın (veya ispatlayın).

Answer 1

Düzlem eğrisini şu şekilde parametrelendirelim: $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ ve varsay $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. Daha sonra eğriniz, parametreleştirilen düğümün düğüm diyagramıdır.$K:[0,2]\to\mathbb R^3$ veren $$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(esas olarak, düğümünüzü bir sopaya astığınızı hayal edin, öyle ki ip tekdüze bir hızda aşağı insin.) O zaman bu düğümü "çözebiliriz". Yani, o zamandan beri$\gamma$ sadece geçer $(0,0)$ uç noktalarda yazabiliriz $\gamma(t)$ kutupsal koordinatlarda $(r(t),\phi(t))$ ile $r,\phi$ sürekli $(0,1)$. Sonra unknot yapabiliriz$K$ aşağıdaki düğüm sırasına göre $K_s$, bir unknot ile başlayan ve ile biten $K$, silindirik koordinatlarla yazılmış: $$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$