det (A) = 0 çözümün benzersiz olmadığını nasıl ima eder? [çiftleme]

Question

Matris denkleminin çözümü Ax = b, burada $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$

vektörlerse benzersiz değildir $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$doğrusal olarak bağımlıdır. Daha sonra determinantın özelliklerine göre,$$ \det A=0. $$Bununla birlikte, det A = 0 ise, A'nın sütun vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğu her zaman gelir mi? Birisi bir kanıt sunabilir mi?

Answer 1

Olası bir kanıt:

• Sütunların doğrusal olarak bağımsız olduğunu varsayalım.
• Matrisi son sütundan başlayarak ve geriye doğru ilerleyerek bir sütun basamaklı formuna dönüştürün.
• Doğrusal olarak bağımsız sütunların sayısının, elde ettiğiniz sıfır olmayan sütunların sayısı olduğunu biliyorsunuz. Bununla birlikte, sütunların bağımsız olduğunu varsaydınız, sıfır sütun yoktur.
• Başka bir deyişle, köşegen üzerinde sıfırdan farklı tüm öğelerin bulunduğu bir üçgen matris elde ettiniz. Belirleyicisi sıfırdan farklıdır.
• Bununla birlikte, matrisi satır / sütun basamaklı formuna dönüştürürken kullandığımız temel dönüşümler, köşegenin özelliğini sıfır veya sıfırdan farklı olacak şekilde değiştirmez.
• Böylece, determinant başlangıçta sıfırdan farklıydı.

Answer 2

İlk sütun tümü ise $0$temiz. Aksi takdirde, ilk elemanlı bir satır düşünün$\ne 0$. İlk satır olması için izin verin. Belirleyici hala$0$sistem bir öncekine eşdeğerdir. Şimdi ilk sütundaki tüm öğeleri, ilk satırdan daha düşük olacak şekilde azaltın. Hala belirleyici$0$, sistem hala eşdeğer. Şimdi, ilk satır ve sütunun çıkarılmasıyla oluşturulan matrise bakın. Belirleyici$0$. Tümevarımı uygulayın, sıfır olmayan bir çözüm bulun$(x_2, \ldots, x_n)$. Şimdi orijinal ilk denklemi kullanarak$x_1$. Artık tüm sisteme sıfır olmayan bir çözümümüz var.