Dır-dir $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ ayırt edilebilir $(0,0)$? [çiftleme]

Question

Aşağıdaki işlev, farklılaştırılabilir mi? $(0,0)$?

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

Her iki kısmi türevin de $0$ve sonra aşağıdaki limiti hesaplamaya çalıştı:

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

Ve sonra sıkıştım. Sıkıştırma teoremini denedim ama yine de hesaplayamadım.

Bu limiti nasıl hesaplayabilirim?

Answer 1

Sürekli bile değil $(0,0)$. İpucu: $f(y^3,y)=\dfrac12$ Eğer $y\ne0$.

Answer 2

Farklılaşabilirlik sürekliliği ifade ettiği için sürekliliğin farklılaşabilirlik için gerekli bir koşul olduğunu hatırlayın .$y^3=v \to 0$ sahip olduğumuz kutupsal koordinatları kullanarak

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$