Dirac mı $\delta$-işlev mutlaka simetrik?

Jan 11 2021

Dirac $\delta$-fonksiyon, şu kısıtlamaları karşılayan bir dağılım olarak tanımlanır:

$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$

Bazı yazarlar ayrıca Dirac'ın $\delta$-işlev simetriktir, yani $\delta(x)=\delta(-x)$

Şimdi sorum şu, Dirac'ın kısıtlamasını ayrı ayrı empoze etmemiz gerekiyor mu? $\delta$-işlev simetrik mi yoksa otomatik olarak diğer kısıtlamalardan mı geliyor?

Pekala, sorgumu açıkça göstermek için, şöyle bir işlev tanımlayacağım: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ nerede ${\rm rect}(x)$ olarak tanımlanır: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ kesinlikle simetrik değildir, ancak aşağıdaki koşulları karşılar, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$

Şimdi sorum şu, tanımlayabilir miyiz $ξ(t)$ Dirac Delta işlevi olarak mı değil mi?

Yanıtlar

10 JánLalinský Jan 11 2021 at 21:52

"Delta işlevi" bir işlev değil, bir dağılımdır. Dağıtım, bir test fonksiyonuna nasıl numara atanacağına dair bir reçetedir. Bu dağılım, olağan anlamda işlev değerlerine sahip olabilir, ancak bu zorunlu değildir. Delta dağılımı olması durumunda fonksiyon değerlerine sahip değildir.

Yani ifade gibi

$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ anlamı "değeri $\delta$ -de $x$ değerine eşittir $\delta$ -de $-x$"anlamsız / geçersizdir.

Ama ifade $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ geçerli olabilir.

Kolayca doğrulayabilirsiniz. $\Delta$ ve $x$ (tanımında limit işaretinden sonraki ifade $\xi$) bu iki ifadeden hiçbirini karşılamıyor (rolünde $\delta$). Yani "simetrik" değil.

Delta dağılımı varsayımsal olarak yalnızca ikinci ifadeyi karşılayabilir. Öyle mi?

Eşitliğin her iki tarafını da değerlendirebiliriz. Sol tarafın tanımı gereği değeri vardır$\delta(x)$, $f(0)$.

Sağ taraftaki integrali şu şekle dönüştürebiliriz: $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Tanımına göre $\delta(y)$, bu integralin değeri $f(0)$sol tarafla aynı. Yani (**) tatmin oldu.

Denklem $\delta(x) = \delta(-x)$ dolayısıyla tanımının sonucudur $\delta(x)$bağımsız bir varsayım değildir.

İşleviniz $\xi$ aslında ikinci ifadeye de uyabilir (ve bu anlamda bu anlamda simetrik olabilir), $\Delta$-sınır işaretinden sonra bağımlı ifade olmaz. Bu, delta dağılımının diğer yaklaşımları için benzerdir; yaklaşımın özellikleri olmayabilir$\delta$ (simetri gibi), ancak sınır var.

10 Qmechanic Jan 11 2021 at 21:18

Sembol $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ iki argümanla $x,y\in\mathbb{R}$Dirac delta dağılımı için resmi olmayan bir çekirdek gösterimidir $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ olarak tanımlandı

$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$

test fonksiyonları için $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Yukarıdaki gibi tanımlanan Dirac deltanın simetrik olduğunu izler $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. OP'nin başlık sorusu.

arivero Jan 12 2021 at 08:42

Delta işlevi, bir dizi işlevde tanımlanan bir dağılımdır. Matematikçiler bunu genellikle bra-ket gösterimini kullanarak ifade eder, burada delta işlevi sütyen işlevidir$<\delta|$ ve $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$

Sürekli işlevler dizisinden bahsediyor olsaydınız, simetri gereksinimine ihtiyacınız olmayacağına inanıyorum. Ancak bu genellikle böyle değildir. Kuantum mekaniğinde, kare integral alabilir fonksiyonlar kümesini kullanırız; bu, süreksizliklere izin veren hafif bir gerekliliktir.

Şimdi, sıfırda süreksiz olabilecek fonksiyonları düşünüyorsanız, ne yapacağınızı açıkça tanımlamanız gerekir, simetrik delta dağılımı

$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$

ve sürekli işlevlerde aynı şekilde çalışan ancak süreksizlik durumunda farklı şekilde çalışan başka bir "delta işlevine" sahip olabilirsiniz.

BONUS: Tek boyutlu kuantum mekaniğinde, bağlanmanın birçok yolu ile tanımlanan bir dizi "delta benzeri potansiyel engellere" sahipsiniz $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ -e $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Sınıflandırma, ders kitaplarındaki hatalardan dolayı burada tam bir kabustur. Her bir "delta" veya "tek bir noktada desteklenen bariyer", aralıkları birleştirmek için bir kural olarak görülebilir.$(-\infty, 0)$ ve $(0, \infty)$.