Doğrusal cebir - Alt uzay probleminin boyutu

Question

Bu soruyu matematik konu testinin GRE doğrusal cebir bölümündeki bir ders slaytından buldum ve çözemedim.

Varsayalım $V$sonlu boyutlu n gerçek bir vektör uzayıdır. Matris kümesini çağırın$V$ kendi içine $M(V)$.
İzin Vermek$T∈ M(V)$. İki alt alanı düşünün$U=\{X∈M(V);TX = XT\}$ ve $W=\{TX−XT; X∈M(V)\}$.

Aşağıdakilerden hangisi DOĞRU olmalıdır?

I. Eğer $V$ sadece özvektörlerini içeren bir temele sahiptir $T$ sonra $U=M(V)$.

II.$\dim(U) +\dim(W) =n^2$.

III.$\dim(U)< n$.

Sanırım II'nin yanlış olması gerekiyor, ancak I veya III'ün gerçeğini bulamıyorum. Herhangi bir yardım takdir edilmektedir!

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\im}{im}$ $\DeclareMathOperator{\dim}{dim}$

1 mutlaka doğru değildir. Almak için$n = 2$ve izin ver $T(e_1) = e_1$ ve $T(e_2) = 2e_2$. İzin Vermek$X$ en iyi $X(e_1) = e_1$ ve $X(e_2) = e_1 + e_2$. Sonra$TX(e_2) = T(e_1 + e_2) = e_1 + 2e_2$, fakat $XT(e_2) = X(2 e_2) = 2e_1 + 2e_2$. Sonra$TX \neq XT$.

2 doğrudur. Doğrusal haritayı düşünün$f: M(V) \to M(V)$ gönderme $X$ -e $TX - XT$. O zaman yazabiliriz$W = \im(f)$ ve $U = \ker(f)$. Sonra sıra sıfırlık teoremine göre,$\dim(U) + \dim(W) = \dim(M(V)) = n^2$.

3 mutlaka doğru değildir. Almak için$n > 1$ ve $T =$kimlik. Sonra$U = M(V)$ yani $\dim(U) = \dim(M(V)) = n^2 > n$.