Doğrusal olmayan integrallenebilir diferansiyel denklem

Question

Pandemi nedeniyle asla yapılmayan fizik için matematik öğreticisinden bir soruyu çözmeye çalışıyorum, bu yüzden cevabını veya çözmenin uygun bir yöntemini bilmiyorum. Yine de burada soru ve onu çözme girişimim var. Geri bildirim, buna nasıl yaklaşılacağına dair öneriler ve daha fazla okuma tavsiyesi büyük ölçüde takdir edilecektir.

Hareket denklemi şöyle olsun: $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ ve, $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ nerede $V(x)$ türetilebilir bir potansiyeldir ve $E$ bağımsızdır $t$.

1. Denklem vererek bütünleştirerek $\dot{x}$Çözümü başlangıç ​​koşuluyla ifade edin $x(t_0)=x_0$ t (x) şeklinde.

Denklemden $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
Pozitif kökü almak ve bildiğimiz ilk durumdan $Cste=-t_0$

$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2. Sonsuzda artan bir potansiyel şöyle olsun: $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ nerede $C>0$ ve $a>0$. Başlangıç ​​hızının bir parçacığını düşünüyoruz$v_0>0$. Asimptotik davranışını verin$x(t)$ ne zaman $E>0$ ve $E=0$.
İfadesini değiştirmeyi denedim$V(x)$ integralde sonsuzda: $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ Şeklinde dönüştürmeye çalışıyordum $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ ikame ile, ancak bunun mümkün olmadığı bana açık hale geldi, belki de ifadesini doğrudan ikame etmeme izin verilmiyor $V(x)$sonsuzda.
Ayrıca integrali hesaplamak zorunda kalmadan bu sorunun etrafından dolaşmanın bir yolu olduğunu düşünüyorum ama bir tane bulamıyorum. Umarım biri bana yardım edebilir.

Answer 1

İlk soruyu doğru cevapladığınıza inanıyorum ancak ikinci sorudaki sorun, bence çok zor olan anti-türevi almaya çalışmanızdan kaynaklanıyor. İşte benim yaklaşımım:
x'in sonsuza yakın olduğunu varsayalım, o zaman elimizde,$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Bunu denklemde değiştirelim $(1)$ ve entegre edin: $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ Böylece sahibiz: $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ Ayrıca, $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ İzin Vermek $D=a(2a+2)(2a+3)$, $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ bunu denklemde değiştirmek $(2)$ tanıtmak istediğimizden beri $E$ asimptotik davranışı incelemek için çözümde:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
İşte bir grafik$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ (nerede $a$ ve $Z$sabitler) size daha iyi bir fikir vermek için. İşlevin davranışını görmek için kaydırıcılarla oynayın.
Grafikten görebiliyoruz ki eğer$E=0$ konumunda bir parçacık $x_1$ yaklaşmaya başlar $x=0$Potansiyelin kaynağı olarak kabul edebileceğimiz, oraya ulaşması sonsuz miktarda zaman alır (çoğu pratik amaç için durdurulmuş olarak kabul edebiliriz). Ve eğer$E>0$ aynı şey olur ancak boşluk, parçacığın orijine ulaşmadan önce asimptotik olarak durdurulduğunu gösterir.