Eğer $f$ direğe sahip $m$ -de $z_0$, sonra $\frac{1}{f}$ çıkarılabilir bir tekilliğe sahiptir $z_0$.

Question

Ders kitabım diyor ki

• Eğer $f$ direğe sahip $m$ -de $z_0$, sonra $\frac{1}{f}$ çıkarılabilir bir tekilliğe sahiptir $z_0$ve eğer tanımlarsak $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, sonra $\frac{1}{f}$ sıfır mertebesine sahiptir $m$ -de $z_0$.

Ama o zamandan beri düşünüyorum $f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ nerede $g(z)$ analitiktir ve sıfırdan farklıdır $z_0$, $\frac{1}{f}$eşittir $\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, kesinlikle analitiktir $z_0$ ve sıfır mertebesine sahiptir $m$ -de $z_0$. Eğer analitik ise$z_0$, sonra $z_0$ tekillik noktası olamaz.

Ders kitabım neden diyor $z_0$ çıkarılabilir bir tekilliktir ve $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?

Answer 1

İşleviniz $\frac{1}{f}$ sadece bir mahallede tanımlanmıştır $z_0$ hariç tutan $z_0$bu yüzden onu gerçekten tanımlamalısın. Aslında,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$ yapar $\textbf{not}$ mantıklı $z_0$.

Answer 2

Bunu not ediyoruz $z_0$ etki alanında değil $\frac{1}{f}$ dan beri $f(z)$önceden tanımlanmış değil$z_0$. Bu durum tanımlanarak düzeltilebilir $\frac{1}{f}(z_0)$ süreklilik ile tutarlı bir şekilde,

Biz tanımlıyoruz

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

Çünkü

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$