Eğer $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ tüm rasyonel sayılar için $a<b$, sonra $f(x)=0$ ae [yinelenen]

Question

İzin Vermek $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$entegre edilebilir bir işlev olabilir.
Bunu göster$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ tüm rasyonel sayılar için $a<b$, sonra $f(x)=0$ her yerde.

İpucu: Önce kanıtlayın$\int\limits_Af=0$ için $A$ açık bir set, sonra $A$ ölçülebilir.

Benim girişimim: Let $A$ açık bir set $\mathbb{R}$. O zaman yazabiliriz$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ nerede $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$rasyonel uç noktalara sahip açık aralıkların ayrık bir koleksiyonudur (Bu mümkün mü?)

Yani $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

O zaman sonucu ölçülebilir olması için nasıl kullanmalıyım? $A$ ve dahası, bunu yaptıktan sonra $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ ima eder $f=0$ae?
Yardımınıza minnettar olurum

Answer 1

Bunun basit olduğunu düşünüyorum. İzin Vermek$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ setin ölçüsüdür $D$. Biliyoruz$\mu (A)=0$ ve $\mu (B)=b-a$. Lebesgue integrali:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ Çünkü $\int_{A} f(x)d\mu=0$( Çünkü $f(x)=0$ neredeyse her yerde) ve $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Answer 2

Koleksiyonu tanımlamak için klasik bir numara yapabilirsiniz

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

ve sonra bunu göster $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Dan beri$f$ ölçülebilir ise istenen nihai sonuç, aksi takdirde $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ nerede $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Daha sonra doğrulayabilirsiniz $\mathcal{E}$ bir $\sigma$-algebra, eğer bunu gösterirsen $A\in \mathcal{E}$ herhangi bir açık set için $A$, sonra onu takip edecek $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Son olarak, rasyonel uç noktalara sahip aralıklar, topolojinin sayılabilir bir temeli olduğundan $\mathbb{R}$, herhangi bir açık için $A\subseteq \mathbb{R}$ rasyonel uç noktalara sahip bir aralık koleksiyonu vardır, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ öyle ki $A=\cup (a_k,b_k)$. DCT'yi kullanarak bunu elde edersiniz$\int_A f =0$.