Eğer $p$ garip bir asal $p ≡ 3(\mod 4)$, sonra $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Question

Doğruysa kanıtla. Yanlışsa karşı örnek verin. Eğer$p$ garip bir asal $p ≡ 3(\mod 4)$, sonra $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Kanıt. $p ≡ 3(\mod 4)$ ima eder $4|p-3$. Wilson Teoremi diyor ki: Eğer p asalsa$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ Veya eşdeğer olarak $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ İkincisi ima eder $$p|(p-1)!+1.$$

Oradan nereye gideceğimi bilmiyorum ya da başlamak için doğru yaklaşım bu mu?

Answer 1

Wilson Teoreminden bunu biliyoruz $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Bu nedenle kanıtlamak yeterlidir. $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

bunu kanıtlamakla eşdeğer olan $\frac{p-1}2$ tek sayıdır

Eğer $p = 4k+3$, sonra $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ bu tek sayıdır.