Eğer $p$ garip bir asal ve $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sonra $\alpha^2$ ilkel bir kök modulo değildir $p$.

Question

Doğruyu kanıtlayın veya yanlışsa bir karşı örnek verin.

Eğer $p$ garip bir asal ve $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sonra $\alpha^2$ ilkel bir kök modulo değildir $p$.

Bunun doğru olduğunu kanıtlamaya çalışıyordum ama nereden başlayacağımı bilmiyorum. Fermat'ın Küçük Teoremini kullanmayı düşünüyordum: eğer$p$ bir asal ve $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, sonra $\alpha^{(p-1)}=1$ ama FLT'den ilkel köklere geçiş nasıl yapılır? İlkel bir kök, bir öğe olarak tanımlanır$\gamma=\phi(m)$ ama bu, bu soruna nasıl bağlanır?

Answer 1

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$Son adım FLT'den sonra gelir.

Bu nedenle, sırası $a^2$ mod $p$ en fazla $\frac{p-1}{2}$, dolayısıyla tanımı gereği ilkel bir kök olamaz.