En büyük ve en küçük çemberin homotity merkezini göstermek için T üzerinden ortak teğet yatar.

Question

$c_1$ merkezli $A$ içinden geçmek $B$.

$BB′$ çapı $c_1$.

$T$ segmentte rastgele bir nokta $BB′$.

$c_2$ merkezli $B′$ içinden geçmek $T$.

$c_3$ merkezli $B$ içinden geçmek $T$.

$c_4$ dışarıdan teğet $c_2$ ve $c_3$ ve içten teğet $c_1$

$F$ merkezidir $c_4$ ve $H,I$ teğet noktalarıdır.

Benim için açık ki $Z = HI \cap AF$ ikinci homothety merkezidir $c_1$ ve $c_4$ ve bunun aynı zamanda dikey olan bu çizgide olduğunu kanıtlamak isterim. $AB$ vasıtasıyla $T$.

Muhtemelen bilmeniz gereken önemli ilgili sonuç: Bu üç dairenin dış ortak teğet çizgilerini paylaştığını gösterin

Bu, kirli çevreler hakkında genel bir sonuç gibi görünüyor

Answer 1

• Ortak teğet olsun $T$ buluşmak $AF$ -de $Y$ ve dik olsun $AB$ vasıtasıyla $F$ buluşmak $AB$ -de $L$.

  
  Sonra hesaplıyoruz$y=LT$ Pisagor teoremi ile: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ yani $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ ve böylece anlıyoruz $$y= {ac\over a+b}$$ yani $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• Öte yandan $X$ içinde olmak $HI\cap AF$.

  
  Homothety$H_1$ -de $H$ ve katsayı ${b\over c}$ alır $F$ -e $B'$ ve homotite $H_2$ -de $G$ ve katsayı ${a+b\over b}$ alır $B'$ -e $A$yani kompozisyon $H_2\circ H_1$ alır $F$ -e $A$ ve merkezde $FA\cap GH =X$. Bu bileşimin katsayısı var$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ yani $X$ böler $AF$ aynı oranda $Y$ ve böylece $X=Y$ ve bitirdik.

Answer 2

Aqua'nın cevabındaki argüman aşağıdaki gibi kısaltılabilir. Aynı nokta adlarını kullanıyoruz ama burada$a,b,c$ merkezlenmiş dairelerin yarıçapları $A,B',F$ sırasıyla (bu, anlamını değiştirir $a$). İzin Vermek$LT:TA$ olmak $x$.

Yiu'nun Üçgen Geometrisi, sayfa 2'de açıklandığı gibi , iç homotetik merkez$X$ (diğer bir deyişle iç benzerlik merkezi) iki dairenin $O(R),I(r)$ segmenti böler $OI$ oranda $R:r$. Böylece iç homotetik noktası$F(c),A(a)$ böler $FA$ oranda $c:a$.

Gibi Pisagor teoremini kullanarak Aqua'nın cevap elde ederiz

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

İçin çözme $x$( tembelsek çevrimiçi bir çözücü kullanarak )$x=\dfrac{c}{a}$. Böylece

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

yani $Y$ iç homotetik merkezidir $c_1,c_4$.