entegrasyonu $2$-stereografik izdüşüm kullanarak küre üzerinde form
İzin vermek$\omega$ol$2$biçim$\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$üzerinde$S^2$. entegre etmek istiyorum$\int_{S^2} \omega$tanımı kullanarak, stereografik projeksiyon ile${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$tarafından verilen$$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$Sonra$$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$hesaplamaya devam ediyorum${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. Bu$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$Örneğin,$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ve benzer şekilde$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$ve$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$Şimdi dış ürünleri hesaplıyoruz:$$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$Öyleyse$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$eğer bir hatam olmasaydı. Ama bu ifadeye nasıl devam edebilirim? Öte yandan, integralin olması gerektiğini biliyorum.$4 \pi$.
Yanıtlar
Şimdiye kadarki sonuçların aslında hepsi doğru. Devam etmek için, tüm ifadeleri genişletme konusunda biraz daha az istekli olmanız, ancak daha fazla çarpanlara ayırmayı tercih etmeniz yeterlidir. Özellikle, sonuç için$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$faktörlenebilir. pay aslında sadece$4(u^2+v^2-1)^2$. Diğer iki terimin geri çekilmesini eklediğinizde, ekliyorsunuz$16(u^2+v^2)$numaratöre. Böylece elde edersin$4(u^2+v^2+1)^2$, payda ile düzgün bir şekilde iptal eder.
Alternatif olarak, genişleme konusunda yeterince bilginiz varsa$(x+y+z)^2$, nihai sonucunuzun payın olduğunu hemen anlayabilirsiniz.$4(u^2+v^2+1)^2$.
İntegrale devam etmek için, integrali aşağıdaki kutupsal koordinatlara dönüştürebilirsiniz.$uv$-düzlem veya trig ikameleriyle yapın. Eski yöntem çok daha kolay.