Entegrasyonu $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Question

Entegre etmek istedim $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Bildiğim şey bu$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ toplamın bittiği yerde $2^{n-1}$ mümkün $\pm$.
Ancak oldukça açık bir şekilde bunu entegre etmek zor.
Gönderen bu , Bilmem geldi Werner formülü oldukça az yukarıdaki sorunu çözmek için karmaşık düşünüyorum. Ama bu formülü keyfi olarak nasıl koyacağımı bilmiyorum$n$ verilen sorun için.

Bana önceden yardım ettiğiniz için teşekkürler.

Answer 1

Sorunuz: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ deneyebilir ve şu gerçeği kullanabiliriz: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ ve sonra şunu söyleyin: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ bu ilk bölümün yapılması oldukça kolaydır: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ şimdi zor kısım hesaplıyor: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ ve sonra sonuç ne olursa olsun açıkça