$f$ sürekli iff $G(f)$ metrik boşluklar içinde kapalı bir kümedir [yineleme]

Question

Grafiği $f$ dır-dir $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ ve $Y$ metrik uzaylardır. $Y$ kompakttır.

$f$ sürekli iff $G(f)$ kapalı bir settir.

Burada en yakın cevabı aldım ama önce kendim denedim ve bir noktada takılıp kaldım ve başka hiçbir yerde bulamadığım o özel durum için yardıma ihtiyacım var /

$\Rightarrow$ bölüm: Let $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ yakınsak dizisi olmak $G(f)$. Eğer$(x,y)$sınırıdır. Bunu göstermeliyiz$y=f(x)$ Diğer bir deyişle $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Sürekliliği ile $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$sınırın benzersizliği ile. Bu nedenle$G_f$ kapalı.

$\Leftarrow$ bölüm: Let $x\in X$ ve $(x_n)$ sınırlı yakınsak dizi $x$. Bunu kanıtlamalısın$(f(x_n))$ yakınsak $Y$ limitli $f(x)$. Diziyi kullandım$z_n=(x_n,f(x_n))$ ve $G_f$ kompakt alanda kapalı $Y$ ve dolayısıyla $G_f$kompakttır. Sonra bir alt dizi var$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. O zaman sahip olacağız$y=f(x)$ ama bunu nasıl kanıtlarım $f(x_n) \to f(x)$? Her alt dizisinin$f(x_n)$ yakınsayan bir alt diziye sahiptir $f(x)$.

Answer 1

Yorumdan bu lemadan gelen cevabımı aldım:

Lemma Let$Y$ kompakt bir metrik uzay olmak ve $(y_n)$ terimleri ait olan bir dizi $Y$. Her yakınsak alt dizisi$(y_n)$aynı sınıra yakınsar$\ell\in Y$, sonra $(y_n)$ yakınsamak $\ell$.

İspat Aksini varsayalım. Sonra var$\epsilon>0$, öyle ki :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Bu, bir alt dizi oluşturmamızı sağlar $(y_{n_k})$ öyle ki :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Şimdi buradan çıkar $(y_{n_k})$ yakınsak bir alt dizi: sınırı $\ell$ hipotezden ve dolayısıyla $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Bir çelişki!

Şimdi birisi bu cevabı kapatabilir ama ben kaydımda tutabilirim ve eğer birisi bu şekilde devam edecekse Ondan yardım alacaklar. Soruyu sordum çünkü aklımıza gelebilecek en bariz yollardan birini kontrol ediyordum. Çok teşekkürler!