Formun kartezyen ürünlerini bölümlere ayırma $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "Çapraz"

Question

Kartezyen ürünü düşünün $[0,2]\times[0,3]$. Bu setin unsurları:$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Aşağıdaki kümeler, bu kartezyen ürünü "çapraz" olarak bölümlere ayırır: $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Bunu keyfi olarak yapmanın bir yolu var mı $n,m\geq 0$? Başlangıçta şu yolu düşündüm. Her biri için$k\in[0,m+n]$, İzin Vermek $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Ama bunlar $J_k$'ler ihtiyacım olandan daha fazla öğe içeriyor. Bunu değiştirmek için herhangi bir öneriniz var mı?

Answer 1

Setin tanımını kontrol ediyordum $J_k$ yukarıdaki örneğiniz için ve gayet iyi çalıştığı ortaya çıktı.

Örneğin, düşünün, $k=2$. Sonra

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Yani, dikdörtgendeki sıralı çiftleri istiyorsunuz $[0,2] \times [0,3]$ sıradaki $j = -i + 2$. Ve bu denklemi çözerken (bunu bilerek$i, j \in \mathbb{N}$) sorunuzda yazdığınız kesin çözümleri alacaksınız.

Şimdi, genel olarak, o setlerde yaptığınız şey bu

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Burada dikdörtgenin içindeki tüm çiftleri listeliyorsunuz $[0,n] \times [0,m]$ ve hatta $i + j = k$.

Bu nedenle, bu setlerin bir koleksiyonu $J_k$ size bu dikdörtgenin "çapraz" bölümünü verecektir.