Garip şekillere sahip Følner dizileri
İzin Vermek $G$ayrık ve sonlu olarak oluşturulmuş bir grup olabilir. Hatırlamak$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$bir Følner dizisidir eğer$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ her biri için $g \in G$. İyi bilindiği gibi, bir Følner sekansının varlığı,$G$.
Følner dizilerinin garip şekillere sahip olduğu sıklıkla söylenir . Yumuşak sorum şu: Bu iddiayı destekleyen hangi örneklerimiz var? Tabi eğer$G$alt üstel büyümeye sahipse, bir top dizisi bir Følner dizisi oluşturur ve bu tuhaf bir şekle sahip değildir . Bu nedenle, daha spesifik olarak: toplardan yapılmayan açık Følner dizilerine sahip olan üstel büyüme gruplarının hangi örneklerini biliyoruz?
İstediğim örneklerin örnekleri olarak, Yıldız şeklindeki Folner dizisi belirli bir formdaki Følner setlerini sorarken , Folner setlerinin ve toplarının cevabı ( topların aksine) dikdörtgenlerden oluşan açık sekanslar verir . Aynı şekilde, ax + b grubu, bir tarafın diğerinden üssel olarak daha büyük olduğu dikdörtgenlerden oluşan bir Følner dizisine sahiptir.
Yanıtlar
Cebir burada resimlerden daha kullanışlıdır, ancak resimler eğlenceli, işte burada. Lamplighter hakkındaki yorumumu doğrulamak için, tipik bir topun hızlı çizimleri ve Følner lamba ışığı seti. Aslında hangisinin daha güzel olduğunu bilmiyorum ama Følner seti aslında daha çok topa benzeyen set.
İki resim farklı açılardan çekilir ve böylece bir stereogram oluşturur, bu nedenle en soldaki resme sağ gözünüzle bakarsanız stereopsisiniz devreye girmelidir. Bunu yararlı buluyorum, eğer yapmazsanız, birini görmezden gelebilirsiniz. Resimler.
İlk olarak, top veya yarıçap $3$kafanın hareket ettiği jeneratörler ile. Kafa sağa doğru hareket ettiğinde, diyagramdan yukarı çıkarsınız. Tahmin edilebileceğini umduğum bazı kurallar kullanıyorum.
İşte aynı jeneratörlere sahip tipik bir Følner seti.
Folner teoremi kanıtlandıktan sonra bu soru 50'li ve 60'lı yıllarda popülerdi. Birçok garip Klasör seti örneği oluşturuldu. Folner kümelerinin ne topların olmadığı tipik grup örnekleri, lamba ışığı grupları ve sonsuz döngüsel grupların çelenk ürünleridir. Daha yeni makaleler için bkz Anna Erschler. Sonlu üretilmiş grupların izoperimetrik profilleri üzerinde. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 ve buradaki referanslar.
Yumuşak olmayan sorunuza bir cevap, aşağıdaki grupların hepsinin [en az bir], topların Folner olmadığı bilinen , ancak başka bir ("dikdörtgen") dizinin olduğu, çözülebilir Baumslag-Solitar, bazı çelenk ürünleridir. (lamba ışığı dahil), bazı uzantılar$\mathbb{Z}^d$ tarafından $\mathbb{Z}$ (özdeğerleri norm 1 olmayan bir matrisle verilenler), bazıları $ax+b$ gruplar ve büyüme serileri rasyonel olan ve hesaplanmış olan hemen hemen tüm uygun üstel büyüme grupları (ayrıntılar için aşağıya bakın).
Folner kümelerinin "tuhaflığı": Soruda belirtildiği gibi, [bir dizi alt dizisi] herhangi bir alt üstel büyüme grubunda doğal bir Folner dizisi oluşturur. Şimdi, başkalarının da belirttiği gibi, toplar (bazı sonlu üretme kümelerine göre) oldukça "çirkin". Optimal Folner seti kavramı dikkate alınırsa, bu kesinleştirilebilir:
İzin Vermek $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ ( $\inf$ tüm setlerin üzerinden geçer $A$ boyut $\leq n$) izoperimetrik profil olun. Sonra bir set$F$ optimal ise $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. Kelimelerle: eğer bir set ise$E$ şundan daha büyük değildir [kardinalite açısından] $F$, sonra isoperimetrik oran $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, izoperimetrik oranını geçmez $F$.
Optimal Folner'ın belirlediği (Loomis-Whitney eşitsizliği kullanılarak) kontrol edilebilir $\mathbb{Z}^d$(normal üretme kümesi) [hiper] küplerdir (veya dikdörtgen biçime sahip olma eğilimindedirler). Bu, topların "beceriksiz" Folner setleri olduğunu söylemenin açık bir yoludur. Karşılaştırıldığında, optimal kümeler hiç "tuhaf" değildir (çünkü çok iyi seçilmiş olmaları gerekir).
Tuhaflık hakkında daha fazla bilgi için aşağıdaki yan notlara bakın.
Açık örnekler: Daha sonra, bir grup üstel büyüme verildiğinde, top dizisinin herhangi bir alt dizisinin Folner olup olmadığı açık bir sorudur. Kısmi bir cevap verdim ki bu, grup [jeneratör seti seçimiyle birlikte] üstel büyümeyi kıstırdığında durumun böyle olmadığını gösterir. Bu, birçok çelenk ürününü, çözülebilir Baumslag-Solitar gruplarını ve bazı uzantıları içerir.$\mathbb{Z}^d$ tarafından $\mathbb{Z}$ (ayrıntılar için bağlantıya bakın).
Bu grupların tümü yarı direkt ürünler olarak yazılabilir. Eğer$G$ ve $H$ uygundur, o zaman kişi bunu gösterebilir $G \rtimes H$ uygundur ve Folner setleri Formda $E_n \times F_n$ (nerede $E_n$ [resp. $F_n$] bir Klasör dizisidir $G$ [resp. $H$]). Bu anlamda, bu tür gruplarda rastladığımız (tembelce, genel bir ispatla üretilmiş olmaları anlamında) Folner setleri "dikdörtgen" dir.
Dolayısıyla yukarıda bahsedilen gruplar [çözülebilir Baumslag-Solitar, bazı metabelyan gruplar, büyüme serileri rasyonel olan ve yakınsama yarıçapında iki kutbu olmayan gruplar (birçok çelenk ürünü ve $ax+b$-gruplar)], ikinci sorunuzun doğrudan cevabıdır (bazı jeneratör grupları için). Topların (wrt üretme setleri) Folner olmadığını, ancak bazı "dikdörtgen" setlerin (kesin olarak söylemek gerekirse: yarı doğrudan ürünler veya uygun grupların uzantıları olmayan tek kutuplu gruplar olabilir; bu gruplar için [ eğer biliniyorsa] "dikdörtgen" kümeler yoktur).
Bölünmemiş uzantılar için, Ycor tarafından Folner setlerinin bir açıklaması verilmiştir . Bölünmemiş uzantılar için "dikdörtgen" anlamının uyarlanabileceğine dikkat edin: bölümün Klasör kümesinin bir ön görüntüsünü alt grubun bazı Klasör kümelerinin bir ön görüntüsünü alarak.
Bu yüzden artık "dikdörtgen" (ve artık toplar değil) setlerin favoriler olduğunu düşünebilirsiniz. Ama sonra basit ara büyüme grupları da var, bu soruyu görün . Ve (bu tür gruplar için değilse, o zaman diğer basit alt üstel büyüme grupları için) Sanırım topların sahip olduğu tek adaylar.
Temel olarak, sorunun daha çok uygun grupları nasıl oluşturduğumuzla ilgisi olduğunu düşünüyorum. Her zaman uygunluğun dört özelliğini kullanırız (uzantı, alt grup, bölüm ve doğrudan sınır). Dolayısıyla, temel kriter olarak büyümeyle başlarlar ve bu dört özelliği kullanırlar (muhtemelen bunu yapmanın birçok yolu vardır). Bu size belirli bir grup için bilinen Folner setlerini verecektir. Aptalca bir örnek olarak, doğal Folner'ın$\mathbb{Z}^3$ silindirlerdir (içindeki toplar $\mathbb{Z}^2$ kez toplar $\mathbb{Z}$).
Yan Not 1: (sürekli) Heisenberg grubundaki bu tür kümelerin ne olduğunu kanıtlamak uzun süredir açık bir sorudur (her ne kadar varsayılan şekil iyi tanımlanmış olsa da). O benim motivasyon oldu bu soruya.
Yan Not 2: Ycor'un belirttiği gibi, bir Folner dizisi verildiğinde$F_n$ gelişigüzel bir sonlu kümeler dizisini göz önünde bulundurarak "istediğiniz kadar tuhaf" yapabilirsiniz $E_n$ ile $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Optimal Folner sekanslarını göz önünde bulundurmanın avantajlarından biri, bu tür kurulumlardan kaçınmak olacaktır (bariz dezavantaj, optimal setlerin bilindiği neredeyse hiçbir grubun olmamasıdır). Bir başka not da, böyle bir setin$E_n$elde edilen değişmez ölçü üzerinde hiçbir etkisi yoktur (sabit bir ultrafiltre için). Setlerin çevrilmesinin limit ölçüsü üzerinde bir etkisi olabileceğine dikkat edin.
Yan Not 3: İşte Folner setlerinin "tuhaflığının" bir başka yönü. Sırayı düşünün$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, Hem de $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ içindeki setlerin $\mathbb{Z}$. O zaman işlevi düşünün$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Değişmez demek biri$P_n$ açık $f$ 1'dir (hangi ultra filtreyi seçerseniz seçin), $M_n$ dır-dir $-1$ (yine, ultrafiltre ne olursa olsun) ve nihayet aldığınız $A_n$seçtiğiniz ultafiltreye bağlıdır. Ve herhangi bir gerçek sayı için inşa edebilirsiniz.$[-1,1]$ bir dizi $R_n$bu sayıya yakınsayan (ultrafiltreden bağımsız olarak). Ultra filtreye bağlı olarak, herhangi bir rasyonel sayıya yakınlaşabilen bir dizi oluşturmak çok zor değil.$[-1,1]$.