Gilbarg & Trudinger'ın kitabındaki Moser Yinelemesinin kanıtı hakkında şüphe

Question

Gilbarg ve Trudinger'ın monografisinde Moser İterasyonu hakkındaki Teorem 8.15'i okuyordum. Verilen ispatın tüm adımlarını anlıyorum, ancak dikkatli bir okumayla giderilemeyecek aşağıdaki şüphelerim var.

1. Yazarlar, teoremin hipotezleri olarak, $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ ve $g\in L^{q/2}(\Omega)$ bazı $q>n$ ancak bu gerçekleri kanıtın hiçbir yerinde kullanmamış gibi görünüyorlar: Bu doğru mu ve değilse, bu gerçekler hangi adımlarda kullanılıyor?

2. Teorem başarısız mı $q\le n$?

Lütfen bu kanıtı tam olarak anlamama yardım edin.

Burada teoremin bir anlık görüntüsünü yükledim.

Denklem 8.3

\ begin {denklem} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {equation} .

Denklem 8.30

\ başlangıç ​​{denklem} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {equation}

Denklem 8.32

\ başlangıç ​​{denklem} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {denklem}

Denklem 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Herhangi bir Yardım İpucu çok takdir edilecektir

Answer 1

kesinlikle duruma ihtiyacı var $f^i\in L^q(\Omega)$ ve $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. İspat sırasında birinin seçmesi gerekir $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(yukarıdaki denklem (8.37)). Bu ancak ve ancak mümkünse$q>\hat n$.

2. Teorem genel olarak başarısız olur $q\leq n$. Biri bir ipucu alabilir$W^{2,p}$eliptik denklemlerin tahminleri. Özel bir durum olarak,$f=0$ ve $Lu=g$ ile $u=0$sınırda. $W^{2,p}$ kabaca diyor $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Sobolev gömme teoremini hatırlayın, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ Eğer $q>n$bu doğru değilken $q\leq n$.

Bir karşı örnek için, yalnızca bir öğe alabilir $g\in W^{2,n/2}$ ama içinde değil $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Sonra$$\Delta u=\Delta g$$ bir çözümü var $u$ while (8.34) doğru olamaz.