Gözlemlenebilirleri Dönüştürme, Yanlış Anlama Griffiths, Giriş. QM veya Farklı Bir Tanım
Griffiths'in Girişinde. QM 3rd, Sec. 6.2 , gözlemlenebilir bir$Q$ çeviri operatörü tarafından $T$ olduğu bulundu $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ parite operatörü için aynı $\Pi$ onun yerine $T$ sahibiz $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
Ancak diğer metinlerde, örneğin Tannoudji, QM, 2. baskı, Cilt. I, Bölüm VI'nın Tamamlayıcıları, Tamamlayıcı B$_{VI}$, 5. Gözlenebilirlerin rotasyonu ve ayrıca burada ve burada diğer sorularda gözlemlenebilir üzerindeki dönüşüm$A$ üniter bir dönüşüm ile $U$ olmalı $$ A' = UA\ U^\dagger $$ nerede $U$anladığım kadarıyla, aktif bir dönüşüm olmalı $T$yukarıda ve iki denklemin aynı olmasını bekliyordum. Ama görünen o ki iki tanım birbirine denk değil ya da herhangi bir hata var mı?
KATMA
Griffiths Tanımı:
Dönüştürülen operatör $\hat Q'$ çevrilmemiş durumda aynı beklenti değerini veren operatör olarak tanımlanır $\psi$ operatörün yaptığı gibi $\hat Q$ çevrilmiş durumda $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Bir çevirinin beklenti değeri üzerindeki etkisini hesaplamanın iki yolu vardır. Aslında dalga fonksiyonunu bir mesafeye kaydırabilir (buna aktif dönüşüm denir ) veya dalga fonksiyonunu olduğu yerde bırakabilir ve koordinat sistemimizin başlangıcını aynı miktarda ters yönde kaydırabilir ( pasif dönüşüm ). Operatör$\hat Q'$ bu kaydırılmış koordinat sistemindeki operatördür.
Eşitlik kullanarak. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Tannoudji Tanımı:
Sistemin özdurumda olduğunu varsayalım $|u_n\rangle$ nın-nin $A$: ölçüm cihazı $A$ bu sistemde sonuç verecek $a_n$hatasız. Ancak ölçümü yapmadan hemen önce bir rotasyon uygularız$\scr R$fiziksel sisteme ve eş zamanlı olarak ölçüm cihazına; göreceli konumları değişmez. Sonuç olarak, eğer gözlemlenebilirse$A$ Düşündüğümüz, yalnızca döndürdüğümüz sisteme eklenen fiziksel bir miktarı (yani döndürmediğimiz diğer sistemlerden veya cihazlardan bağımsız olarak) açıklar, daha sonra yeni konumunda ölçüm cihazı yine aynı sonucu verecektir $a_n$hatasız. Şimdi, döndükten sonra cihaz, tanım gereği,$A'$ve sistem şu durumdadır: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Bu nedenle sahip olmalıyız: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ yani: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
Bunu not et $\scr R$ fiziksel 3 boyutlu boşluğun dönüşüdür ve $R$ Hilbert uzayındaki temsilci operatörüdür.
Yanıtlar
Orada iki fiziksel olarak farklı fikirler (tanımlarken farklı matematiksel özelliklere sahip aktif kuantum fiziğinin gözlenebilirlerin bir simetri) eylemi.
Göre, varsayın Wigner teoremi ,$U$ durum vektörlerinin ya üniter ya da anti üniter dönüşümüdür $\psi$bir kuantum sisteminin durumları üzerindeki aktif bir eyleme karşılık gelir .
Eğer $A$gözlemlenebilir, ikili eylemimiz var ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$ve ters ikili eylem $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
İlki, değişmemiş durum üzerindeki sonuçlar üzerindeki etkinin, değişmemiş gözlemlenebilirler üzerindeki değişen durumların sonuçlarıyla aynı olacağı şekilde, fiziksel ölçüm araçları üzerinde bir eylem anlamına gelir. Yani sistemi çevirmek yerine$x$, Enstrümanları birlikte çeviriyorum $-x$.
İkincisi, ölçümlerin sonuçları söz konusu olduğunda sistem üzerindeki simetrinin eylemini iptal eden ölçüm cihazları üzerinde bir eylem anlamına gelir.
Bu gerçeklerin kanıtları, temel kalite yönetimi formalizminden önemsizdir (bkz. Son Not ).
Bir simetri grubunun eylemini tartışırken temel bir matematiksel fark vardır $G$ durum vektörleri üzerinde üniter (veya projektif üniter) bir temsil ile temsil edilir $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Her zamanki gibi (aşamalara kadar) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ nerede $\circ$ içindeki ürün $G$ ve $e$kimlik unsurudur. Bundan böyle steno kullanacağım$S_g := S_{U_g}$ ve benzer şekilde $S^*$.
Ters ikili eylem, uygun bir temsilini tanımlar. $G$: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ ikili eylem sol temsili tanımlarken $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$Bir veya daha fazla eylemin kullanılması kolaylık konusudur ve fiziksel yoruma bağlıdır. QFT'de uzay-zaman izometrilerinin grubunun alan gözlemlenebilirleri üzerindeki doğal eylemi genellikle$S^*$.
NOT .
Eğer $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ selfadjoint operatörünün spektral ayrışmasıdır $A$ ve $U$ üniter veya antiuniter bir operatördür, o zaman $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ Başka bir deyişle, spektral ölçü $P^{(UAU^{-1})}(E)$ nın-nin $UAU^{-1}$ sadece $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
Bu nedenle, sonucun $A$ kalır $E\subset \mathbb{R}$ durum birim vektör ile temsil edildiğinde $\psi$ dır-dir $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ söz konusu yorumuna yol açan $S_U(A)$: üzerinde hareket etmek $A$ ile $S_U$ ve durumu sabit bırakmak, eyleme geçmekle eşdeğerdir $\psi$ ile $U$ ve ayrılıyor $A$ değişmedi.
Özellikle beklenti değerleri ile ilgili olarak, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
Benzer şekilde, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ söz konusu yorumuna yol açan $S^*_U(A)$: eylem $A$ ile $S_U^*$ eylemini iptal eder $U$ açık $\psi$.
Özellikle beklenti değerleri ile ilgili olarak, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$