Griffiths ve Harris'teki Bertini teoreminin ifadesini ve ispatını anlamak

Question

Bertini teoreminin Griffiths & Harris kitabındaki ifadesini ve ispatını anlamakta güçlük çekiyorum (s.$137$). Açıkçası, yığın üzerinde birkaç cevabı okuduktan sonra bile bir kelimeyi anlamıyorum. Teorem

Doğrusal bir sistemin genel öğesi, sistemin temel lokusundan düzgün bir şekilde uzaktadır.

İlk soru . Yukarıdaki ifade, bölenlerle ilişkili satır demetlerini değil, genel çizgi demetlerinin doğrusalını mı ifade ediyor?

Söyleyebileceğim kadarıyla, bir bölenle ilişkili bir çizgi demetinin doğrusal bir sistemini ifade eder. Yanılıyorsam söyle.

İkinci soru . Genel unsur nedir? Veya genel kalem nedir?

Kanıt olarak, yazarlar " Doğrusal bir sistemin jenerik elemanı, sistemin temel lokusundan uzakta tekil ise, o zaman sistemdeki genel bir kalem için de geçerli olacaktır; bu nedenle Bertini'yi ispatlamak yeterlidir. bir kalem. "

Üçüncü soru . Yukarıdaki cümle tam olarak ne anlama geliyor?

Şimdi varsayalım $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ bir kalem

Dördüncü soru . Yazarlar neden yazıyor$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Ne yapmak$f,g$ burada demek?

Son soru, bir çeşitliliğin derecesiyle ilgilidir (s.$171$).

Bertini, $V$ genel $(n-k)$-uçak $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ kesişecek $V$ enine ve böylece buluşacak $V$ Tam olarak $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ puan.

Son soru . Jenerik nedir$(n-k)$-uçak? Bu durumda neden kesişiyor?$V$ enine mi?

Answer 1

1. Sizin ayarınızda (karmaşık bir manifold) tüm hat demetleri bölenlerden gelir ve bunun tersi de geçerlidir.

2. Doğrusal bir sistemin genel bir öğesi, $\mathbb P^r$ Bu doğrusal sistemin üyelerini parametrelendirirken, bazı yoğun açık alt kümelerini $\mathbb P^r$. Genel öğeler, yoğun açıkta bir nokta ile parametrik hale getirilmiş öğelerdir. Grassmannian'ın yoğun bir açıklığındaki bir nokta ile benzer şekilde parametrelendirilmiş genel bir kalem$G(2,r+1)$ nın-nin $2$boyutsal alt uzayları $H^0(L)$ (nerede $L$ satır demetidir).

3. Cümle, bir kurşun kalemde herhangi bir "kötü" davranışın meydana geleceğini söylüyor, bu nedenle yüksek boyutlu doğrusal sistemler hakkında endişelenmemize gerek yok.

4. Demek istediler $f,g \in H^0(L)$, bu nedenle doğrusal kombinasyonlarını $f$ ve $g$ bir kalem verir.

5. Genel bir düzlem, uygun Grassmannian'ın yoğun bir açık alt kümesi tarafından parametrikleştirilir. Çaprazlık, çaprazlığın açık bir koşul olmasıdır.