Grup hiperkomolojisi için bu ortak sınır homomorfizminin anlamı nedir?
$\require{AMScd}$ İzin Vermek $\Gamma=\{1,\gamma\}$ bir düzen grubu olun 2. Gerçek indirgeyici grupların Galois kohomolojisindeki problemimde, değişmeli $\Gamma$-modüller (değişmeli gruplar $\Gamma$-action) \ begin {equation *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {denklem *} burada satırlar tamdır, ancak sütunlar değil (ve$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Diyagramın üst ve alt satırları kanonik olarak bölünmüştür:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ ve bu bölmeler uyumludur: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ için $q_3\in Q_3$. Ben düşünün Tate hypercohomology gruplarını$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ her iki kısa kompleksin derece cinsinden olduğu $(-1,0)$.
Aşağıda "elle" kanonik bir eş sınır homomorfizmi oluşturuyorum $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
Soru. Bu ortak sınır homomorfizmini bir tür genel teoriden nasıl elde edebilirim?
Açıklama. Bir grup için$\Gamma$2. düzey (ve ayrıca herhangi bir döngüsel grup için$\Gamma$) Tate kohomolojisi ve hiperkomolojisi 2. periyot ile periyodiktir. Bu nedenle, $\delta$ bir harita $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ her iki kompleksin derece cinsinden olduğu $(-2,-1,0)$.
İnşaat. İle başlıyoruz$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Buraya$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$yani, \ Q_3'da \ başlar {denklem} q_3 \, X_3 içinde \ quad x_3 \, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {denklem} Standart olarak kaldırıyoruz $ q_3$ -e $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ ve kaldırıyoruz $ x_3$için bazı $ x_2\in X _2$. Biz yazarız$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ nerede $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ ve $ p_1\in P_1$. Ayarladık$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Beri $(*)$ sahibiz $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ bunu görüyoruz $ x_1\in X _1$. Hesaplıyoruz:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ tarafından $(**)$. Ayrıca,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} tarafından $(*)$ ve $(**)$. Böylece$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Bunu görüyoruz $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Ayarladık$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Basit bir kontrol, haritanın $\delta$ iyi tanımlanmış bir homomorfizmdir.
Yanıtlar
Bunu halletmenin en kolay yolunun üçgenleştirilmiş kategorilerin biçimselliği olduğuna inanıyorum. Bunu çeşitli şekillerde yapabilirsiniz: ya sınırsız türetilmiş kategori ile çalışın ya da (muhtemelen daha kolay) her modülü değiştirin$M$ ile $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ nerede $\mathcal R$ için tam çözüm $\Gamma$yani standart sınırsız 2-periyodik kompleks $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$nın-nin $\Gamma$-modüller.
Bırak o zaman $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ rastgele üçgen kategorisinde tam bir üçgen olsun ve $Q_3\to X_2\to P_1$sıfır kompozit ile keyfi morfizmler olabilir. İzin Vermek$P$ lif olmak $X_1\to P_1$ ve izin ver $Q$ kahramanı olmak $Q_3\to X_3$. Amacımız tüm bunlardan kanonik bir harita oluşturmaktır.$Q\to\Sigma P$. Üstelik bir izomorfizm olan böyle bir harita olduğu ortaya çıktı.$Q_3\to X_2\to P_1$ kesin.
Kompozitten beri $Q_3\to X_2\to P_1$ sıfır, harita $X_2\to P_1$ kofiber yoluyla faktörler $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$ve harita $Q_3\to X_2$ lif aracılığıyla faktörler $P_0\to X_2$ nın-nin $X_2\to P_1$. Böylece sonuçta$X_1\to P_1$ Bileşikteki faktörler $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, süre $Q_3\to X_3$ Bileşikteki faktörler $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.
İlk olarak, bu şartlar altında kofiber $Q_3\to P_0$ lifine izomorfiktir $Q_0\to P_1$; ile ifade etmek$H$, bileşik $P_0\to H\to Q_0$ kompozit mi $P_0\to X_2\to Q_0$.
Bize çeşitli kompozitler için bunu söyleyen sekiz yüzlü aksiyomunun sekiz örneğini alıyoruz $f\circ g$ kesin üçgenler var $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ ve $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Açıkçası, hepsine ihtiyaç yoktur, ancak bütünlük için hepsini listeleyeyim.
Oluşturulabilir çift | tam üçgeni verir |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
Hepsini tek bir diyagrama yerleştirmek gerekirse - aşağıdaki bölümde, üzerlerinde üç nesne bulunan çizgiler tam üçgenleri temsil eder; her şey gidip geliyor.
