Her biri farklı kökene sahip nD denklemlerinin kesişim noktası nasıl formüle edilir?

Aug 15 2020

Elimizde diyelim $n$boyutlu çizgi / düzlem / hiper düzlem $n$ ile temsil edilen $n$denklemlerin miktarı. O Not denklemlerinin her biri farklı köken geçiyor$O\in\mathbb{R}^n$.

Aşağıdakileri yapmanın en basit yolu ne olabilir?

  1. hesaplama ve isteğe bağlı olarak
  2. kesişme noktalarının (türü, varlığı) doğrulanması $I\in\mathbb{R}^n$?

En basit örnek belki şu şekilde olabilir:

$$\begin{equation}\begin{aligned} x_1 + y_1 &= a_1\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1}$$ $$\begin{equation}\begin{aligned} x_2 + y_2 &= a_2\\ \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2}$$

\ eqref {eq1} başlangıç ​​noktasına sahip $O_1$ ve \ eqref {eq2} şu kaynaklara sahip: $O_2$.

Şunun gibi çizilmiştir:

İçinde farklı menşeli 2 satır $\mathbb{R}^2$

Diyelim $I$yukarıdaki gibi var olduğu grafiksel olarak kanıtlanmıştır. Ulaşılacak analitik çözüm nedir$I_{x}$ ve $I_{y}$?

Artı, sayısal olarak kararlı cebirsel problem olarak formüle edilebilirse.

Yanıtlar

Gonbidatu Aug 15 2020 at 18:15

Vektör gösterimini kullanırsak, nokta $\vec{p}$ hiper düzlemde $\vec{n}, d$ ancak ve ancak $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d \tag{1}\label{1}$$

Ancak, hiper düzlem tanımı orijine göre ise $\vec{o}$, sonra öyle $$(\vec{p} - \vec{o}) \cdot \vec{n} = d \tag{2a}\label{2a}$$ eşdeğer olan $$\vec{p} \cdot \vec{n} = d + \vec{o} \cdot \vec{n} \tag{2b}\label{2b}$$

Başka bir deyişle, hiper düzlemin başlangıçta olmayan bir noktaya göre tanımlanması, yalnızca hiper düzlemin skaler bileşenini (işaretli mesafe) değiştirir. Mutlak koordinatlarda, skaler bileşen, hiper düzlem normal ile hiper düzlem tanımı için başlangıç ​​noktası olarak kullanılan nokta arasındaki nokta çarpımı tarafından arttırılır.

Eğer kullanırsak $\vec{p} = (p_1 , \dots , p_N)$ dikkate alınması gereken bir noktanın koordinatları için, $\vec{n} = (n_1 , \dots , p_N)$ hiper düzlem normal için ve $\vec{o} = (o_1, \dots, o_N)$ hiper düzlem tanımının başlangıç ​​noktası olarak kullanılan nokta için yazabiliriz $\eqref{2a}$ gibi $$(p_1 - o_1) n_1 + \dots + (p_N - o_N) n_N = d \tag{3a}\label{3a}$$ ve $\eqref{2b}$ gibi $$p_1 n_1 + \dots + p_N n_N = d + o_1 n_1 + \dots + o_N n_N \tag{3b}\label{3b}$$ veya özet halinde $$\sum_{i=1}^{N} p_i n_i = d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \tag{3c}\label{3c}$$

Diyelim ki iki hiper düzleminiz var, $(n_1, \dots, n_N ; d)$ ve $(u_1, \dots, u_N ; p)$, "köken" ile $(o_1, \dots, o_N)$ ve $(g_1, \dots, g_N)$: $$\left\lbrace ~ \begin{aligned} \sum_{i=1}^N p_i n_i &= d + \sum_{i=1}^N o_i n_i \\ \sum_{i=1}^N p_i u_i &= p + \sum_{i=1}^N g_i u_i \\ \end{aligned} \right . \tag{4} \label{4}$$ her iki denklem de nerede $\eqref{4}$ sadece için doğrudur $(p_1, \dots, p_N)$ iki hiper düzlemin kesişme noktasında.

Standart durumdan tek fark, yalnızca "orijine" (hiper düzleme göre tanımlanmış) ve hiper düzleme bağlı olarak skaler bileşene eklenen ekstra sabit toplamdır.


Sahibiz $N$hiper düzlemler. Notasyonu kullanalım$\vec{n}_i = (n_{i, 1}, \dots, n_{i, N})$ normal vektörleri için ve $d_i$ mutlak başlangıç ​​noktasından imzalı mesafeleri için, yani sağ taraftaki sabit toplam dahil $\eqref{3c}$ veya $\eqref{4}$.

Bir matris oluşturursak $\mathbf{M}$her satır bir hiper düzlem normalden oluşur, $$\mathbf{M} = \left[ \begin{matrix} n_{1, 1} & n_{1, 2} & \dots & n_{1, N-1} & n_{1, N} \\ n_{2, 1} & n_{2, 2} & \dots & n_{2, N-1} & n_{2, N} \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ n_{N-1, 1} & n_{N-1, 2} & \dots & n_{N-1, N-1} & n_{N-1, N} \\ n_{N, 1} & n_{N, 2} & \dots & n_{N, N-1} & n_{N, N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{5}\label{5}$$ ve bir sütun vektörü $y$ sabit "menşe" tazminat tutarları dahil olmak üzere imzalanan mesafelerden, $$y = \left[ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_{N-1} \\ d_{N} \\ \end{matrix} \right ] \tag{6}\label{6}$$ ile $x$ kesişme noktası için sütun vektörü olan denklem sistemi, $$\mathbf{M} x = y \tag{7a}\label{7a}$$ Bunun bir çözümü var eğer $\mathbf{M}$ ters çevrilebilir $$x = \mathbf{M}^{-1} y \tag{7b}\label{7b}$$

Bir bilgisayar programında, $\mathbf{M}$eğer normallerden bazıları neredeyse doğrusal olarak bağımlıysa (yani, ikili iç çarpım, Öklid normlarının ürününe yakınsa; veya eşdeğer olarak, normaller neredeyse paralel veya hemen hemen zıtsa) neredeyse tekil olabilir. Açıktır ki, normallerden iki veya daha fazlası paralel veya zıt ise, o zaman kesişme artık bir nokta değildir.

Belirtilmemiş ek gereksinimleriniz olmadıkça, temelde herhangi bir doğrusal cebir kitaplığı bunun için iyi çalışmalıdır.