Her biri sırayla mı $\sigma(E',E)$Çift Banach alanında sürekli doğrusal işlevsellik $E'$ mutlaka bir puan değerlendirmesi?
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$Bir ikilik iki vektör uzayı arasında$E$ ve $F$ bitmiş $\bf K$ ($= {\bf R}$ nın-nin ${\bf C}$) tanım gereği iki doğrusal bir formdur $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ öyle ki, eğer $\langle x, y\rangle =0$ her biri için $x$ içinde $E$, sonra $y=0$. Ve tam tersi.
Yukarıda, bir tanımlar gibi bir ikilik verilen zayıf topolojisi ile$F$, genellikle gösterilir $\sigma (F,E)$doğrusal fonksiyonallerin göre en kaba topoloji olması $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ her biri için süreklidir $x$ içinde $E$.
Klasik bir gerçektir ki her $\sigma (F,E)$sürekli doğrusal işlevsel $\varphi :F\to \bf K$, içindeki bir vektör ile temsil edilebilir$E$ var olması anlamında (zorunlu olarak benzersiz) $x$ içinde $E$ öyle ki $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
Bu nedenle şu sorulabilir:
Soru . Süreklilik, sıralı süreklilik ile değiştirilirse, yukarıdakiler hala geçerli mi ? Başka bir deyişle, her biri sırayla$\sigma (F, E)$sürekli doğrusal işlevsel $F$ içindeki bir vektör ile temsil edilebilir $E$.
Okuyucu bunu ispatlama veya çürütme görevine geçmeden önce, maalesef cevabın olumsuz olduğunu söyleyeyim, aşağıda bir karşı örnek sunulmuştur.
Öyleyse, bunu içinde bulunduğu durumla sınırlandırarak biraz uzmanlaşmama izin verin. $E$ bir Banach alanıdır ve $F$ kanonik dualite ile topolojik ikilisidir $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
Kesin olmak:
Soru . İzin Vermek$E$ Banach alanı ol ve izin ver $\varphi $ doğrusal işlevsel olmak $E'$ sırayla olan $\sigma (E',E)$-sürekli. Dır-dir$\varphi $ mutlaka bir vektör ile temsil edilir $E$?
Bu açıkça doğrudur eğer $E$ dönüşlü ve sanırım bunu kanıtlayabilirim $E=c_0$yanı sıra $E=\ell ^1$.
SAYAÇ ÖRNEĞİ
İzin Vermek $E=\sc F(H)$ Hilbert uzayındaki tüm sonlu sıralı operatörlerin kümesi olması ve $F=\sc B(H)$iz yoluyla tanımlanan dualite ile, yani $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
Bu durumda $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ sigma zayıf operatör topolojisi ile çakışan zayıf operatör topolojisi (WOT) olduğu ortaya çıktı ($\sigma $-WOT) sınırlandırılmış alt kümeleri üzerinde $\sc B(H)$.
WOT-yakınsak dizileri Banach-Steinhauss tarafından sınırlandığından, WOT-yakınsak dizilerinin aynı $\sigma $-WOT yakınsak olanlar. Bunu takip eden her$\sigma $-WOT-sürekli doğrusal işlevsellik $\sc B(H)$ayrıca WOT-süreklidir. Her iz sınıfı operatörü için uzun lafın kısası$S$ açık $H$ sonsuz sıralı, doğrusal işlevsel $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ sırayla WOT süreklidir, ancak bir operatör tarafından temsil edilmez $\sc F(H)$.
Yanıtlar
Mikael de la Salle bunun doğru olduğuna işaret ediyor $E$Conway, A Course in Functional Analysis, 2e'de Corollary V.12.8'de gösterildiği gibi ayrılabilir .
Ayrılamayan bir karşı örnek için, sayılamayan sıra boşluğunu göz önünde bulundurun $[0, \omega_1]$, kompakt Hausdorff olan ve $E = C([0, \omega_1])$. Riesz temsil teoremine göre,$E'$ imzalanmış Radon önlemlerinin alanıdır $\mu$ açık $[0, \omega_1]$toplam varyasyon normu ile. İzin Vermek$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$. Bu açıkça herhangi bir vektörle temsil edilmiyor$E$ fonksiyondan beri $1_{\{\omega_1\}}$ sürekli değil ama iddia ediyorum $\varphi$ sırayla $\sigma(E', E)$ sürekli.
İzin Vermek $\mu_n$ 0'a yakınsayan bir dizi $\sigma(E', E)$ ve düzelt $\epsilon > 0$. Her biri$\mu_n$ Radon, dolayısıyla toplam varyasyon ölçüsü $|\mu_n|$ve böylece yaklaşık olarak $\{\omega_1\}$ içinde $|\mu_n|$-Açık setlerle dışarıdan ölçün. Yani var$\alpha_n < \omega_1$ öyle ki $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$. İzin Vermek$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; sonra$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ her biri için $n$.
Tanımlamak $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ tarafından $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ ve bunu not et $f$süreklidir. Şimdi$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
Ama varsayımla $\int f\,d\mu_n \to 0$, ve $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$yani biz sonuca varıyoruz $\varphi(\mu_n) \to 0$.