Her sürekli gerçek değerli fonksiyon üzerinde tanımlanmışsa $K$ sınırlıdır, o zaman $K$ kompakt

Question

Gerçek analiz bölümünden şu soruyu çözmeye çalışıyorum :

1. İzin Vermek $K$ boş olmayan bir alt kümesi olmak $\mathbb R^n$ nerede $n > 1$. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru olmalıdır?

(I) Eğer $K$ kompakttır, ardından her sürekli gerçek değerli işlev $K$ Sınırlı.

(II) Her sürekli gerçek değerli fonksiyon, $K$ sınırlıdır, o zaman $K$ kompakttır.

(III) Eğer $K$ kompakt, o zaman $K$ bağlandı.

(I) için kanıt standarttır. (II) yi çelişkilerle görmeye çalışıyorum.

Bu satırlar boyunca (II) için bir ispat oluşturmak mümkün mü:

Varsayalım $K \subseteq \mathbb R^n$kompakt değil. Sonra açık bir kapak var$\mathcal C$Sonlu bir alt kapsamı olmayan. Fakat$f: K \to \mathbb R$süreklidir. (...) Çelişki.

Answer 1

Altkümesi $\mathbb{R^n}$kompakt ise ancak ve ancak kapalı ve sınırlı ise, bu standart bir sonuçtur. Şimdi, üzerinde tanımlanan her sürekli gerçek değerli işlevi varsayalım.$K$Sınırlı. Özellikle, işlev$f(x)=||x||$ sınırlıdır $K$dolayısıyla $K$ sınırlı bir kümedir.

Bu yüzden sadece kanıtlamalıyız $K$kapalı. Pekala, varsayalım öyle değil. O zaman bir nokta var$y\in\overline{K}\setminus K$. Tanımlamak$f:K\to\mathbb{R}$ tarafından $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Bu, sınırlı olmayan sürekli bir işlevdir, bir çelişkidir.

Answer 2

Bunu eklemek isterim ki, aralık, sınırlı metrik ile donatılmış gerçeklerse, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, bu durumda ifade metrik boşluklar için doğru değildir. $Dom(f)$ Heine-Borel mülkünü memnun etti.