Homojen olmayan tekrarlama ilişkisini çözmek için oluşturma işlevlerini kullanın
İzin Vermek $a_0=0, a_1=2,$ ve $a_2=5$. Yineleme denklemini çözmek için oluşturma işlevlerini kullanın:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ için $n\geq0$.
Bu, Uygulamalı Kombinatorik'ten bir kitap problemidir . Mücadele konusunda gerçekten kafam karıştı$2^n$ üreten işlevleri kullanan yineleme ilişkisinin bir parçası.
Düzenle:
Yinelemeyi seriye dönüştürmem gerektiğini biliyorum ve onu parçaladım, ancak kısmi kesirler yapmak için onu uygun bir forma sokmakla uğraşıyorum. Bunlar elde etmeyi başardığım denklemler.
İzin verirsek $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ üretme işlevi olmak $a_n$ sonra aldığım hesaplamalardan sonra:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
Basitleştirdikten sonra: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Daha sonra, kısmi kesir ayrıştırması: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
Değerleri yerine koymaya çalıştım, ancak bir şeyler doğru görünmüyor. Lütfen nerede yanlış yapacağımı bana bildirin.
Yanıtlar
Fonksiyon türetme işleminde bir yerde bir hata yaptınız (bu bölümü dahil etmediğiniz için nereden olduğunu söylemek zor),
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} hangi çözülür \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Çözümünüzü kontrol edin, umarım buradan bitirebilirsiniz.