Homojen olmayan tekrarlama ilişkisini çözmek için oluşturma işlevlerini kullanın

Aug 17 2020

İzin Vermek $a_0=0, a_1=2,$ ve $a_2=5$. Yineleme denklemini çözmek için oluşturma işlevlerini kullanın:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ için $n\geq0$.

Bu, Uygulamalı Kombinatorik'ten bir kitap problemidir . Mücadele konusunda gerçekten kafam karıştı$2^n$ üreten işlevleri kullanan yineleme ilişkisinin bir parçası.

Düzenle:

Yinelemeyi seriye dönüştürmem gerektiğini biliyorum ve onu parçaladım, ancak kısmi kesirler yapmak için onu uygun bir forma sokmakla uğraşıyorum. Bunlar elde etmeyi başardığım denklemler.

İzin verirsek $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ üretme işlevi olmak $a_n$ sonra aldığım hesaplamalardan sonra:

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

Basitleştirdikten sonra: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

Daha sonra, kısmi kesir ayrıştırması: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

Değerleri yerine koymaya çalıştım, ancak bir şeyler doğru görünmüyor. Lütfen nerede yanlış yapacağımı bana bildirin.

Yanıtlar

3 Sil Aug 17 2020 at 18:53

Fonksiyon türetme işleminde bir yerde bir hata yaptınız (bu bölümü dahil etmediğiniz için nereden olduğunu söylemek zor),

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} hangi çözülür \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Çözümünüzü kontrol edin, umarım buradan bitirebilirsiniz.