Homomorfizmi $k$-algebralar, maksimal spektrumda homomorfizmi indükler
İçin $k$ cebirsel olarak kapalı bir alan, bir afin tanımlıyoruz $k$-algebra sonlu olarak oluşturulmuş $k$-küçültülmüş cebir (yani $\sqrt{(0)} = (0)$). Bir affinie için$k$-cebir $A$, biz tanımlıyoruz $\operatorname{specm} A$maksimal idealler kümesi olmak. O zaman şu öneriye sahibiz:
Eğer $\alpha: A \rightarrow B$ afin homomorfizmidir $k$-algebralar, o zaman $\alpha$ sürekli bir topolojik uzay haritası oluşturur $\phi: \operatorname{specm} B \rightarrow \operatorname{specm} A$ maksimum ideal nerede $m \subset B$,
$$ \phi(m) = \alpha^{-1}(m). $$
İspatın ilk yarısını anlamakta güçlük çekiyorum:
Kanıt:
Herhangi $h \in A$, $\alpha(h)$ tersinir $B_{\alpha(h)}$ (yerelleştirmeyi gösterir $B$ -de $\alpha(h)$), böylece homomorfizm $A \rightarrow B \rightarrow B_{\alpha(h)}$ bir homomorfizme uzanır $$ \frac{g}{h^m} \rightarrow \frac{\alpha(g)}{\alpha(h)^m}: A_h \rightarrow B_{\alpha(h)} $$
Herhangi bir maksimum ideal için $n \in B$, $m = \alpha^{-1}(n)$ maksimal $A$ Çünkü $A/m \rightarrow B/n$ k-cebirlerinin bir enjeksiyon haritasıdır ve $A/m$ dır-dir $k$.
Adım 1'in ispatta başka bir yerde kullanıldığına inanmıyorum, bu yüzden adım 2'nin 1. adımın bir sonucu olması gerektiği anlaşılıyor. Birisi nasıl olduğunu açıklayabilir mi? Özellikle 1. adım, 2. adımdaki haritanın enjekte edici olmasının nedeni mi? Teşekkür ederim!
Yanıtlar
Nerede okuduğunu bilmiyorum ama bu aşırı karmaşık görünüyor. Farz et ki$\alpha: A\to B$ haritası $k$-algebralar nerede $A$ ve $B$sonlu tiptir. İzin Vermek$\mathfrak{m}$maksimal ideal olun. Bunu göstermek istiyoruz$\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$maksimal bir ideal. İndüklenen haritanın
$$\alpha:A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})\to B/\mathfrak{m}$$
enjekte edici sice eğer $\alpha(a\alpha^{-1}(\mathfrak{m}))=\alpha(a)\mathfrak{m}$ sıfır, o zaman bu diyor ki $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ Böylece $a\in \alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ ki bunu söylüyor $a\alpha^{-1}(m)$ sıfırdır.
Şimdi, endişelenmemize rağmen $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$maksimum değil kesinlikle asaldır. Gerçekten, eğer$ab\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ sonra $\alpha(ab)\in \mathfrak{m}$. Ancak bu şunu ima eder:$\alpha(a)\alpha(b)\in\mathfrak{m}$ öyleyse ya $\alpha(a)\in\mathfrak{m}$ veya $\alpha(b)\in\mathfrak{m}$. Ama bu tam olarak şu anlama geliyor$a\in\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ veya $\alpha^{-1}(b)\in\mathfrak{m}$. Dan beri$a$ ve $b$ keyfi olduğunu görüyoruz $\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$( Not: tabii ki bu onu kullanmadı)$\mathfrak{m}$ maksimaldir ve herhangi bir asal ideal için çalışır).
Öyleyse görüyoruz ki $\alpha$ integral alanın dahil edilmesini sağlar $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ alana $B/\mathfrak{m}$. Keyfi halkalarla uğraşıyor olsaydık, gerçekten söyleyebileceğimiz şeyin tam kapsamı bu olurdu. Ancak, sonlu tiple uğraştığımız gerçeği$k$-algebralar gün ne diyor.
Nasıl yani? Nullstellensatz tarafından$B$ sonlu boyutlu $k$-algebra bizde var $B/\mathfrak{m}$ sonlu boyutlu $k$-cebir! Bu nedenle, özellikle$A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ içine gömülür $B/\mathfrak{m}$ olarak $k$-algebra bunu görüyoruz $A/\alpha^{-1}(\mathfrak{m})$ ayrılmaz bir alandır ve aynı zamanda bir $k$-sonlu boyutlu olan cebir $k$. Bu yeterli.
Yani, mutlak tam genellikte eğer $\ell$ bir alan ve $R$ bir integral alandır ve $\ell$- alebrawith $\dim_\ell R<\infty$ sonra $R$ bir alandır.
Neden? Bunu herhangi biri için göstermemiz gerekiyor$r\in R$ sıfır olmayan hangisi $r$çarpımsal bir tersi vardır. Ancak bu tam olarak haritanın
$$m_r:R\to R:x\mapsto rx$$
tersinir - belli ki eğer $r$ çarpımsal bir tersi vardır o zaman $m_r^{-1}=m_{r^{-1}}$ ve eğer $m_r$ o zaman tersinir $1$ görüntüsünde $m_r$ bu var olduğu anlamına gelir $x$ öyle ki $1=m_r(x)=rx$.
Ancak, o zamandan beri unutmayın $R$ bir alan adıdır $m_r$ enjekte edici - eğer $m_r(x)=0$ sonra $rx=0$ bu da etki alanı özelliğine göre $x=0$ dan beri $r\ne 0$. Ama şunu unutmayın$m_r$ açıkça bir haritası $k$-vektör uzayları ve sonlu boyutlu bir vektör uzayının herhangi bir enjeksiyon endomorfizmi bir otomorfizm olduğundan, biz kazandık!