Homomorfizmler alt grupların sırasını korur mu?
Okudum tek olası homomorfizm $\mathbb{Z}_7$ -e $\mathbb{Z}_{12}$ tüm öğelerini eşleyen $\mathbb{Z}_7$ -e $\{0\}$. Çünkü başka bir homomorfizm varsa$\mathbb{Z}_7$ -e $\mathbb{Z}_{12}$, önemsiz olmayan herhangi bir alt grubunu eşleyebilmelidir. $\mathbb{Z}_7$, bir alt grubuna $\mathbb{Z}_{12}$. Ancak bu şu anlama gelir:$\mathbb{Z}_{12}$ bir sipariş alt grubu olurdu $7$imkansızdır.
Sanırım yukarıdaki ifadede ima edilen şey, homomorfizmlerin alt grupların sırasını koruduğudur ... ama bu genel olarak doğru mu?
Yanıtlar
Genel olarak doğru değil. İzin Vermek$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ veren $f(x)=2x$. Harita$f$ açıkça bir homomorfizmdir, ancak grubun kendi düzenini korumaz.
Sanırım bu ifade şu anlama geliyor, çünkü yalnızca alt grupları $\mathbb Z_7$ vardır $\{0\}$ ve grubun kendisi, önemsiz olmayan herhangi bir homomorfizmin çekirdeği $\{0\}$ve böylece önemsiz olmayan herhangi bir homomorfizm enjekte edicidir. Bunun anlamı$\mathbb Z_7$ kendi imgesi için izomorfiktir, ancak bir homomorfizmin görüntüsü bir alt grup olduğundan bu gerçekleşemez $\mathbb Z_{12}$ ve bu grubun bir sipariş alt grubu yok $7$.