İçinde yatay bir çubuk bulunan bir integral ne anlama geliyor?

Question

Abramowitz ve Stegun'un "Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı" kitabında, bu entegrasyon sembolüne aşağıda resmedilen üstel integral fonksiyonlarını tanımlayan ilk birkaç denklemde rastladım. Bu bir şey ifade ediyor mu, yoksa bir yazdırma hatası mı?

Answer 1

Chappers kullanıcısı tarafından bağlanan metnin dijital kopyasına göre , bu gösterim Cauchy ilke değeridir. Bu kullanım, metnin sonundaki oldukça kapsamlı gösterim dizininde - özellikle Çeşitli Gösterimler başlıklı bölümde listelenmiştir .

Cauchy Temel Değeri aksi tanımsız olacaktır bazı "uygunsuz" tümlevlerine bir değer atama bir yoludur. Eğer$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tekilliğe sahip $c \in [a,b]$, ardından Cauchy Principal değeri tarafından verilir

$$ -\kern-9pt\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{\varepsilon\searrow 0} \left[ \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,\mathrm{d}x\right].$$

Benzer bir tanım şu durumlarda geçerlidir: $f$ sonsuzda bir tekilliğe sahiptir:

$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x)\,\mathrm{d}x. $$

Bu ikinci durumda, Cauchy ana değerinin, uygun olmayan bir integrale bir değer atamanın "olağan" yönteminden nasıl farklı olduğunu görmek daha kolaydır. Olağan ortamda, biz tanımlarız$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{a\to-\infty} \int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x + \lim_{b\to\infty} \int_{c}^{b} f(x),\mathrm{d}x, $$ nerede $c$herhangi bir gerçek sayıdır. Bu standart tanım kullanıldığında, sinüs işlevi tüm gerçek hat üzerinde entegre edilemez. Ancak, Cauchy prensibi değer yapar exist:

$$ -\kern-9pt\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} \sin(x) \,\mathrm{d}x = 0, $$ çünkü sinüs tek bir fonksiyondur.

Ayrıca şunu da belirtmekte fayda var: $-\kern-7.5pt\int$Cauchy ana değeri için standart bir gösterim değildir. Çoğu yazar, bunun yerine, gösterimi kullanacaktır.$PV\kern-4pt\int$, Veya benzeri. Ayrıca gösterim$-\kern-7.5pt\int$diğer yazarlar tarafından farklı bir şey ifade etmek için kullanılır. Örneğin , Evans PDE'ler hakkındaki metninde$-\kern-7.5pt\int$ bir top üzerindeki ortalama integrali göstermek için, yani $$ -\kern-9pt\int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y = \frac{1}{\mu(B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y)\,\mathrm{d}y,$$ nerede $B(x,r)$ bir topu gösterir $n$Merkezli boyutlu Öklid uzayı $x$ ve yarıçap $r$, ve $\mu(B(x,r))$ gösterir $n$o topun boyutlu hacmi (Lebesgue ölçümü).