İdeal bir mermi hareketinde katedilen maksimum mesafe
Bir mermi hareketinde, merminin fırlatılacağını düşünün. $(0,0)$Kartezyen eksenlerde izlendiği gibi. Sonra yörünge verilir$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ nerede $\theta$ ölçülür $x$ eksen ve yerçekimi birlikte hareket eder $y$ eksen $R$ büyüklüğüne sahip olan ilk hız ile değişebilen maksimum aralığı temsil eder. $v$.
Genel bir eğrinin yay uzunluğu formülünü kullanarak, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ katedilen mesafeyi D = formunun bir integrali olarak elde ederiz$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Etkileşimli bir model burada bulunabilir .
Sorum: Hangi açıyla nasıl bulabilirim$\theta$ mermi tarafından kat edilen mesafe, sabit bir değer verildiğinde maksimize edilecektir. $v$.
Yapmayı denedim $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ ama bana bir bilinmeyen verdi $\frac{dx}{d \theta}$, Daha fazla yaklaşamıyorum, bu yüzden burada bir grafik oluşturdum ve yakın olduğunu buldum$56.4^\circ$ ancak düzeltilip düzeltilmediğinden emin değilim.
Yanıtlar
Yönteminiz başlangıçta çok kötü değil, ancak bunu görmezden gelmeniz (veya en azından açıkça belirtmemiş olmanız) dışında $R$ bağlıdır $\theta$aynı zamanda, bu sorunu çözmeyi oldukça zorlaştıran da budur. Sizi doğru anladıysam, değerini bulmak istersiniz$\theta$ (sabit bir hız için $u$) havadaki merminin toplam uzunluğunu maksimuma çıkarır. Bu durumda, aşağıdaki gibi türevleri almak$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$mantıklı değil. En üst düzeye çıkarmak istediğiniz değişkenler şunlardır:$a,b,$ ve $c$üzerinden entegre olacağınız için $x$!
Başlangıçta bu sorunun basit bir analitik sonuca sahip olması gerektiğine ne kadar ikna olmuş olsam da, durum böyle değil gibi görünüyor! Görebildiğim kadarıyla, gerçekten çözmek için sayısal yöntemler kullanmanız gerekiyor. Daha iyi bir yol bilen varsa, çok ilgilenirim. Ne yaptığımı açıklamama izin verin.
Aşağıdaki varsayımları yapmaya karar verdim:
Toplam hız (sabit) 1'dir. Bu bir problem değil, az önce $u=1$ki bu tamamen kabul edilebilir.
Ben sadece değişeceğim $u_y$, yukarıdaki kısıtlama verildiğinde. Değeri$u_x$ tarafından düzeltilecek $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Sizin de belirttiğiniz gibi (ancak biraz farklı formüle edilmiştir), merminin kapladığı toplam uzunluk şöyledir:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(Bu durumda, eğriyi zamana göre parametrelendirmeyi seçtim. $t$entegre ettiğim $t=0$ -e $t=2 u_y/g$, kolayca toplam uçuş süresi olarak gösterilebilir. Sen de kendi yolunla yapabilirsin.)
Gerçeğini kullanarak
\ {denklem} başlayın \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {equation}
bunu göstermek kolay
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
Böyle zamanlarda, denklemi "boyutlandırmak" yararlıdır, böylece sınırlar bağlı değildir $u_y$. "Boyutsuz" bir zaman tanımlayabiliriz$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ böylece integral şöyle olur:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
elle çözmek oldukça çirkin bir integral. Belki Math.SE'deki insanlar bunu adaletli yapabilir mi? Bunu çözmek için Mathematica kullanmaya karar verdim .
Önce fonksiyonu sayısal olarak entegre ettim ve integrali farklı değerler için çizdim $u_y$ aşağıda gösterildiği gibi ve bunu bulmak beni şaşırttı $L$ bir maksimum değere sahip miydi (ilk düşüncem belki de olmamasıydı) $u_y$ 0.82 ile 0.84 arasında bir yerde.
Bunu göz önünde bulundurarak , Mathematica'nın fonksiyonu entegre etmesini sağladım ve şunu buldum
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Bizi birimleri kullanmaktan alıkoyan hiçbir şey yok $u=1$ ve bu nedenle $u_y \in (0,1)$ve bu birimlerde
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Sonra, bunu bir fonksiyon olarak maksimize etmeye çalıştım $u_y$ türevi alıp sıfıra eşitleyerek, sonuçta:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Bu aşkın bir denklemdir ve bu nedenle kolayca çözülemez. Ancak bunu bulmak için sayısal olarak çözmek çok zor değil$L$ ne zaman maksimize edilir $$u_y = 0.833557,$$
Beklediğimiz aralıkta yatıyor. Bu bir açıya karşılık gelir$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$