İki alanın kompozit kalıntı alanı

Question

---

[Soru]

bunu biliyorum $K'\cdot K''$ çerçevesiz bir uzantısıdır $K$ ama neden bilmiyorum $K'\cdot K''$ kalıntı alanına sahip olmak $k'$.

her zaman doğru mu $K_1\cdot K_2$ kalıntı alanına sahip olmak $k_1 \cdot k_2$? (nerede$k_1,k_2$ kalıntı alanları $K_1, K_2$)

Bence 7.50 önermesini ispat edersek, " $K_1\cdot K_2$ kalıntı alanına sahip olmak $k_1 \cdot k_2$" bu durumda.

Ancak bu önermeyi ispatlarken bu gerçeği kullanamayız.

Bunu nasıl kanıtlayabilirim?

İlginiz için teşekkür ederim.

referans (JS Milne'in Cebirsel Sayı Teorisi ) ve bu yazı 1 : Aynı kalıntı alanlarına sahip çerçevelenmemiş uzantıların garip akıl yürütmesi aynıdır.

Answer 1

İçin $K/\Bbb{Q}_p$ sonlu bir uzantı o zaman $F/K$ sınırlandırılmamış iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ ile $p\nmid n$ ve $q= |O_F/(\pi_F)|$. Bu, Hensel lemmanın ana uygulamasıdır.

Ne zaman $E/K,E'/K$ dallanırsa, her zaman durum böyle değildir $EE'$ aşağıdakileri içeren en küçük alan $E,E'$ile dene $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.

Ne zaman $E'/K$ o zaman çerçevesiz $EE'=E(\zeta_{q-1})$ kalıntı alanı var $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.